Question

在△ABC中，AB=AC．
（1）如圖1，如果∠BAD=40°，AD是△ABC的中線，AD=AE，則∠EDC=______；
（2）如圖2，如果（1）∠BAD=70°，AD是△ABC的中線，AD=AE，則∠EDC=______；
（3）思考，通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC數(shù)量之間有什么關(guān)系？請用式子表示______；
（4）如圖3，如果AD不是△ABC的中線，AD=AE，是否仍有上述關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的中線，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=40°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=（180°-∠CAD）=（180°-40°）=70°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°；

（2）同理可求，∠ADE=（180°-70°）=55°，
∴∠ADE=∠ADC-∠ADE=90°-55°=35°；

（3）∠BAD=2∠EDC；

（4）證明：如圖，∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠1=∠2，
又∵∠1+∠3=∠4+∠B，∠2=∠3+∠C，
∴∠4=2∠3，
即∠BAD=2∠EDC．
故答案為：（1）20°；（2）35°；（3）∠BAD=2∠EDC．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，∠CAD=∠BAD，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ADE，然后根據(jù)∠EDC=∠ADC-∠ADE計算即可得解；
（2）與（1）同理計算即可得解；
（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系可得∠BAD=2∠EDC；
（4）根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠C，∠1=∠2，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理可得∠4=2∠3，即∠BAD=2∠EDC．
點評：本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．