Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊BC，AB上的中點，連接DE并延長至點F，使EF=2DE，連接CE、AF．

（1）證明：AF=CE；
（2）當(dāng)∠B=30°時，試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點D，E分別是邊BC，AB上的中點，

∴DE∥AC，AC=2DE，

∵EF=2DE，

∴EF∥AC，EF=AC，

∴四邊形ACEF是平行四邊形，

∴AF=CE；

（2）解：當(dāng)∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形；理由如下：

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，AC= AB=AE，

∴△AEC是等邊三角形，

∴AC=CE，

又∵四邊形ACEF是平行四邊形，

∴四邊形ACEF是菱形．

【解析】（1）先由三角形中位線定理得出DE∥AC，AC=2DE，再由平行四邊形的判定，得出四邊形ACEF是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)即可得到AF=CE；
（2）由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，證出△AEC是等邊三角形，得出AC=CE，即可得到四邊形ACEF是菱形．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．