【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,BC在x軸上,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限內(nèi),AB與y軸的正半軸交與點(diǎn)E,已知點(diǎn)B(﹣1,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo): ,點(diǎn)E的坐標(biāo): ;
(2)若二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)A、E,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)P是線段AC上的一個動點(diǎn)(P與點(diǎn)A、C不重合)連結(jié)PB、PD,設(shè)L是△PBD的周長,當(dāng)L取最小值時。
求:①點(diǎn)P的坐標(biāo)
②判斷此時點(diǎn)P是否在(2)中所求的拋物線上,請充分說明你的判斷理由.
【答案】(1)E(0, );(2)y=﹣x2+x+;(3)①P(, ),②此時點(diǎn)P在拋物線上.
【解析】試題分析:
(1)由已知條件求得線段OD、AD、OE的長可得點(diǎn)A、E的坐標(biāo);
(2)把(1)中所求得的A、E坐標(biāo)代入中列方程組求得的值可得拋物線的解析式;
(3)由△PBD中,BD邊是定值可知當(dāng)PB+PD最小時,△PBD的周長最小,因此作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D’,連接BD’,交AC于點(diǎn)P,此時,△PBD的周長最小.①作D’G⊥軸,連接DD’交AC于點(diǎn)F,利用軸對稱和等邊三角形的性質(zhì)求得DG、D’G的長可得D’的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求得直線DD’和AC的解析式就可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);②把所求得的點(diǎn)P的坐標(biāo)代入(2)中所得拋物線的解析式可判斷點(diǎn)P是否在該拋物線上.
試題解析:
(1)連接AD,如圖1,
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形,又B的坐標(biāo)為(﹣1,0),BC在x軸上,A在第一象限,
∴點(diǎn)C在x軸的正半軸上,
∴C的坐標(biāo)為(3,0),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得:D的坐標(biāo)為(1,0).
∵D為BC的中點(diǎn),AB=AC=BC=4,
∴AD⊥BC,
∴AD=,
∴A的坐標(biāo)是(1, ).
∵在△BOE中,∠BOE=90°,∠EBO=60°,
∴∠BEO=30°,
∴BE=2BO=2,
∴OE=,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0, );
(2)∵拋物線過點(diǎn)A、E,
∴ ,解得: , ,
∴拋物線的解析式為;
(3)作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D',
連接BD'交AC于點(diǎn)P,則PB與PD的和取最小值,
即△PBD的周長L取最小值,如圖2.
①∵D、D′關(guān)于直線AC對稱,
∴DD′⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠ACD=60°,∴∠D′DC=30°,
∴在Rt△DFC中,DF= =,∴DD'=,
作D’G⊥軸于點(diǎn)G,
在Rt△D’DG中,DG=D’Dcos30°=3,DG=D’Dsin30°=,
∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為(4, ),
∴由待定系數(shù)法可求得:直線BD'的解析式為: ,直線AC的解析式為: ,
由 解得: ,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo).
②∵在中,當(dāng)時, ,
∴點(diǎn)P在拋物線上.
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已知每個小球分別由獨(dú)立的電機(jī)控制.圖2,圖3分別是9個小球可構(gòu)成的兩個造型,在每個造型中,相鄰小球的高度差均為a.為了使小球從造型一(如圖2)變到造型二(如圖3),控制電機(jī)使造型一中的②,③,④,⑥,⑦,⑧號小球同時運(yùn)動,②,③,④號小球向下運(yùn)動,運(yùn)動速度均為3米/秒;⑥,⑦,⑧號小球向上運(yùn)動,運(yùn)動速度均為2米/秒,當(dāng)每個小球到達(dá)造型二的相應(yīng)位置時就停止運(yùn)動.已知⑦號小球比②號小球晚秒到達(dá)相應(yīng)位置,問②號小球運(yùn)動了多少米?
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(1)該拋物線的解析式為 ; (用含m的式子表示);
(2)探究線段DE、BC的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)直接寫出C′點(diǎn)的坐標(biāo)(用含m的式子表示).
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