Question

如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；② ；③△PMN為等邊三角形； ④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，BN=PC．其中正確的是__________.

Answer 1

①②③④.

試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②正確；先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點(diǎn)，得出BN=PB=PC，判斷④正確．
試題解析：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，
∴PM=BC，PN=BC，
∴PM=PN，正確；
②在△ABM與△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴ ，正確；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°，
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，正確；
④當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∵CN⊥AB于點(diǎn)N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P為BC邊的中點(diǎn)，
∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形
∴BN=PB=PC，正確．
考點(diǎn): 1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等邊三角形的判定；3.直角三角形斜邊上的中線.