Question

6．如圖，等腰直角△ABC腰長(zhǎng)為a，現(xiàn)分別按圖1，圖2方式在△ABC內(nèi)內(nèi)接一個(gè)正方形ADFE和正方形PMNQ．設(shè)△ABC的面積為S，正方形ADFE的面積為S₁，正方形PMNQ的面積為S₂．①AD：AB=1：2；②A(yíng)P：AB=1：3；③S₁+S₂＞S；④設(shè)在△ABC內(nèi)任意截取一個(gè)正方形的面積為S₃，則S₃≤S₁．上述結(jié)論中正確的是①②④．

Answer 1

分析 ①如圖1：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解；
②圖2：同圖1的證法；
③由（1）得出的AB、AD、AP、AB的關(guān)系，然后用a表示出AB、AD、AP的值，這樣就能表示出S₁、S₂和S，然后進(jìn)行比較即可；
④結(jié)合③，即可求得答案．

解答 解：①圖1中，∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADFE是正方形，
∴AD=DF，∠B=45°，
∴DF=DB，
∴AD=DB，
∴AD：AB=1：2；故正確；
②圖2中，同理：PM=MN，∠B=45°，
∴PM=MB，
∴MN=MB，
∴MN=MB=NC，
∴AP：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；故正確；
③圖1中，S₁=（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$a²，
∵PQ：BC=AP：AB=1：3，
∴PQ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
∴S₂=（$\frac{\sqrt{2}}{3}$a）²=$\frac{2}{9}$a²，
∴S₁+S₂=（$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{9}$）a²=$\frac{17}{36}$a²，
∵S=$\frac{1}{2}$a²=$\frac{18}{36}$a²，
∴S₁+S₂＜S；故錯(cuò)誤；
④由③可得：在△ABC內(nèi)任意截取一個(gè)正方形的面積為S₃，則S₃≤S₁；故正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．注意掌握面積的求解方法是關(guān)鍵．