Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P，D是⊙O上于點，且 = ，弦AD的延長線交切線PC于點E，連接AC．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）若⊙O的直徑為5，sinP= ，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵BC=CD，

∴∠OAC=∠CAD．

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AE．

∴∠E=∠OCP．

∵PE是的切線，C為切點，

∴∠OCP=90°．

∴∠E=90°

（2）解：在Rt△ABD中，OC=2.5，sin∠P= = ，

∴OP= ，

在Rt△APE中，AP= +2.5= ，sin∠P= = ，

∴AE=4．

【解析】（1）連接OC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠OCA．∠OAC=∠CAD．推出OC∥AE．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠OCP．根據(jù)切線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．
【考點精析】利用切線的性質(zhì)定理和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．