【題目】(2016江西。┤鐖D,將正n邊形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°后,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O,連接AO,我們稱AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P,連接PO,我們稱∠OAB為“疊弦角”,△AOP為“疊弦三角形”

【探究證明】

(1)請?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個證明:“疊弦三角形”(△AOP)是等邊三角形;

(2)如圖2,求證:∠OAB=∠OAE′

【歸納猜想】

(3)圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為 , ;

(4)圖n中,“疊弦三角形” 等邊三角形(填“是”或“不是”)

(5)圖n中,“疊弦角”的度數(shù)為 (用含n的式子表示)

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)15°,24°;(4)是;(5)

【解析】

試題分析:(1)先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),再判斷出△APD≌△AOD',最后用旋轉(zhuǎn)角計(jì)算即可;

(2)先判斷出Rt△AEM≌Rt△ABN,在判斷出Rt△APM≌Rt△AON 即可;

(3)先判斷出△AD′O≌△ABO,再利用正方形,正五邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),計(jì)算即可;

(4)先判斷出△APF≌△AE′F′,再用旋轉(zhuǎn)角為60°,從而得出△PAO是等邊三角形;

(5)用(3)的方法求出正n邊形的,“疊弦角”的度數(shù).

試題解析:(1)如圖1,∵四ABCD是正方形,由旋轉(zhuǎn)知:AD=AD',∠D=∠D'=90°,∠DAD'=∠OAP=60°,∴∠DAP=∠D'AO,∴△APD≌△AOD'∴AP=AO,∵∠OAP=60°,∴△AOP是等邊三角形

(2)如圖2,作AM⊥DE于M,作AN⊥CB于N.∵五ABCDE是正五邊形,由旋轉(zhuǎn)知:AE=AE',∠E=∠E'=108°,∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO,∴△APE≌△AOE'(ASA)∴∠OAE'=∠PAE.

在Rt△AEM和Rt△ABN中,∠AEM=∠ABN=72°,AE=AB∴Rt△AEM≌Rt△ABN (AAS),∴∠EAM=∠BAN,AM=AN.在Rt△APM和Rt△AON中,AP=AO,AM=AN,∴Rt△APM≌Rt△AON (HL),∠PAM=∠OAN,∴∠PAE=∠OAB,∴∠OAE'=∠OAB (等量代換).

(3)由(1)有,△APD≌△AOD',∴∠DAP=∠D′AO,在△AD′O和△ABO中,AD=AB,AO=AO,∴△AD′O≌△ABO,∴∠D′AO=∠BAO,由旋轉(zhuǎn)得,∠DAD′=60°,∵∠DAB=90°,∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°,∴∠D′AD=∠D′AB=15°,同理可得,∠E′AO=24°,故答案為:15°,24°.

(4)如圖3,∵六邊形ABCDEF和六邊形A′B′C′E′F′是正六邊形,∴∠F=F′=120°,由旋轉(zhuǎn)得,AF=AF′,EF=E′F′,∴△APF≌△AE′F′,∴∠PAF=∠E′AF′,由旋轉(zhuǎn)得,∠FAF′=60°,AP=AO

∴∠PAO=∠FAO=60°,∴△PAO是等邊三角形.

故答案為:是.

(5)同(3)的方法得,∠OAB=[(n﹣2)×180°÷n﹣60°]÷2=

故答案:

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(1)求證:△ABQ≌△CAP;

(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時,∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,求出它的度數(shù).

(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動,直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,直接寫出它的度數(shù).

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