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10.如圖,⊙O半徑為4cm,其內接正六邊形ABCDEF,點P,Q同時分別從A,D兩點出發(fā),以1cm/s速度沿AF,DC向中點F,G運動.連接PB,QE,設運動時間為t(s).
(1)求證:四邊形PEQB為平行四邊形;
(2)填空:
①當t=2s時,四邊形PBQE為菱形;
②當t=0或4s時,四邊形PBQE為矩形.

分析 (1)根據(jù)正六邊形ABCDEF內接于⊙O,可以得到正六邊形的各邊相等、各個內角相等,由點P,Q同時分別從A,D兩點出發(fā),以1cm/s速度,運動時間為t,可以得到BP與QE,PE與BQ的關系,從而可以證得結論;
(2)①根據(jù)菱形的性質可以得到菱形的四條邊都相等,從而可以得到所用的時間;
②根據(jù)矩形的性質,可以分別得到t為多少時,四邊形PBQE為矩形.

解答 (1)證明:∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F,
∵點P,Q同時分別從A,D兩點出發(fā),以1cm/s速度,運動時間為t(s),
∴AP=DQ=t,則PF=QC=4-t,
在△ABP和△DEQ中
{AB=DEA=DAP=DQ
∴△ABP≌△DEQ(SAS)
∴BP=EQ,
同理可證,PE=QB,
∴四邊形PEQB是平行四邊形.
(2)解:①當四邊形PBQE為菱形時,PB=PE=EQ=QB,
∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB,
∴AP=PF=DQ=QC,
即t=4-t,得t=2,
故答案為:2;
②當t=0時,∠EPF=∠PEF=30°,
∴∠BPE=120°-30°=90°,
∴此時四邊形PBQE為矩形;
當t=4時,∠ABP=∠APB=30°,
∴∠BPE=120°-30°=90°,
∴此時四邊形PBQE為矩形.
故答案為:0或4.

點評 本題考查圓的綜合題、平行四邊形的判定、菱形的性質、矩形的性質,解題的關鍵是明確題意,利用數(shù)形結合的思想,找出所要證明的結論需要的條件.

練習冊系列答案
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