如圖,將OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC,交OB于點(diǎn)P,連接MP.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____;用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____;
(2)記△OMP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(0<t<6);并求t為何值時(shí),S有最大值?
(3)試探究:當(dāng)S有最大值時(shí),在y軸上是否存在點(diǎn)T,使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分,且三角形的面積是△ONC面積的?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)由OA=6,AB=4,易得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4);由圖可得,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=CN=t,縱坐標(biāo)=4-NP,NP的值可根據(jù)相似比求得;
(2)由(1)的結(jié)論易得△OMP的高為t,而OM=6-AM=6-t,再根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式,再由二次函數(shù)的最值求法,求得t為何值時(shí),S有最大值;
(3)由(2)求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo),從而求得直線ON的函數(shù)關(guān)系式;設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0,b),可得直線MT的函數(shù)關(guān)系式,解由兩個(gè)關(guān)系式組成的方程組,可得點(diǎn)直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo);由已知易得S△OCN=×4×3=6,∴S△ORT=S△OCN=2;然后分兩種情況考慮:①當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí),②當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)OC的延長(zhǎng)線上,從而求得符合條件的點(diǎn)T的坐標(biāo).
解答:解:(1)延長(zhǎng)NP交OA于H,
∵矩形OABC,
∴BC∥OA,∠OCB=90°,
∵PN⊥BC,
∴NH∥OC,
∴四邊形CNHO是平行四邊形,
∴OH=CN,
∵OA=6,AB=4,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4);
由圖可得,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=0H=CN=t,縱坐標(biāo)=4-NP,
∵NP⊥BC,
∴NP∥OC,
∴NP:OC=BN:CB,
即NP:4=(6-t):t,
∴NP=4-t,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=4-NP=t,
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為();
(其中寫(xiě)對(duì)B點(diǎn)得1分)(3分)

(2)∵S△OMP=×OM×,(4分)
∴S=×(6-t)×=+2t.
=(0<t<6).(6分)
∴當(dāng)t=3時(shí),S有最大值.(7分)

(3)存在.
由(2)得:當(dāng)S有最大值時(shí),點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為:M(3,0),N(3,4),
則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為:
設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0,b),則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為:,
解方程組
∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為
∵S△OCN=×4×3=6,
∴S△ORT=S△OCN=2.(8分)
①當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí),分割出的三角形是△OR1T1,如圖,作R1D1⊥y軸,D1為垂足,
則S△OR1T1=RD1•OT=•b=2.
∴3b2-4b-16=0,b=
∴b1=,b2=(不合題意,舍去)
此時(shí)點(diǎn)T1的坐標(biāo)為(0,).(9分)
②當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長(zhǎng)線上時(shí),分割出的三角形是△R2NE,如圖,設(shè)MT交CN于點(diǎn)E,由①得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,作R2D2⊥CN交CN于點(diǎn)D2,則
S△R2NE=•EN•R2D2===2.
∴b2+4b-48=0,b=
∴b1=,b2=(不合題意,舍去).
∴此時(shí)點(diǎn)T2的坐標(biāo)為(0,).
綜上所述,在y軸上存在點(diǎn)T1(0,),T2(0,)符合條件.(10分)
點(diǎn)評(píng):此題綜合性較強(qiáng),考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、平行線分線段成比例、二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,將OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC,交OB于點(diǎn)P,連接MP.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為
 
;用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為
 
;
(2)記△OMP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(0<t<6);并求t為何值時(shí),S有最大值?
(3)試探究:當(dāng)S有最大值時(shí),在y軸上是否存在點(diǎn)T,使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分,且三角形的面積是△ONC面積的
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?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,將OA=8,AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M,N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC,交OB于點(diǎn)P,連接MP.
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為
(8,6)
(8,6)
;用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(t,
3
4
t
(t,
3
4
t
;
(2)記△OMP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(0<t<8),并求當(dāng)t為何值時(shí),S有最大值?若有,求出這個(gè)最大值;
(3)試探究:在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某一個(gè)時(shí)刻,△OPM是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本題滿分10分)

如圖,將OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC,交OB于點(diǎn)P,連接MP.

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為   ;用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為     ;(3分)

(2)記△OMP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(0 < t < 6);并求t為何值時(shí),S有最大值?(4分)

(3)試探究:當(dāng)S有最大值時(shí),在y軸上是否存在點(diǎn)T,使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分,且三角形的面積是△ONC面積的?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3分)

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本題滿分10分)
如圖,將OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC,交OB于點(diǎn)P,連接MP.

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為  ;用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為    ;(3分)
(2)記△OMP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(0 < t < 6);并求t為何值時(shí),S有最大值?(4分)
(3)試探究:當(dāng)S有最大值時(shí),在y軸上是否存在點(diǎn)T,使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分,且三角形的面積是△ONC面積的?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3分)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年高級(jí)中等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷(湖北黃岡) 題型:解答題

(本題滿分10分)

如圖,將OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC,交OB于點(diǎn)P,連接MP.

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為   ;用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為     ;(3分)

(2)記△OMP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(0 < t < 6);并求t為何值時(shí),S有最大值?(4分)

(3)試探究:當(dāng)S有最大值時(shí),在y軸上是否存在點(diǎn)T,使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分,且三角形的面積是△ONC面積的?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3分)

 

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