【題目】如圖,已知點A(-2,4)和點B(1,0)都在拋物線上.
(1)求、;
(2)向右平移上述拋物線,記平移后點A的對應點為,點B的對應點為,若四邊形為菱形,求平移后拋物線的表達式;
(3)記平移后拋物線的對稱軸與直線的交點為C,試在軸上找一個點D,使得以點、C、D為頂點的三角形與△ABC相似.
【答案】(1);
(2);.
(3)D點坐標為:D(3,0)或(,0)
【解析】(1)已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標,將它們代入拋物線的解析式中,即可求得m、n的值;(2)根據(jù)A、B的坐標,易求得AB的長;根據(jù)平移的性質知:四邊形AA′B′B一定為平行四邊形,若四邊形AA′B′B為菱形,那么必須滿足AB=BB′,由此可確定平移的距離,根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式;(3)易求得直線AB′的解析式,聯(lián)立平移后的拋物線對稱軸,可得到C點的坐標,進而可求出AB、BC、AC、B′C的長,在(2)題中已經(jīng)證得AB=BB′,那么∠BAC=∠BB′C,即A、B′對應,若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,可分兩種情況考慮:①∠B′CD=∠ABC,此時△B′CD∽△ABC,②∠B′DC=∠ABC,此時△B′DC∽△ABC,根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段,即可求得不同的BD長,進而可求得D點的坐標.
解:(1)由于拋物線經(jīng)過點A(-2,4)和點B(1,0),
則有: ,解得.
(2)由(1)得:,
由A(-2,4)、B(1,0),根據(jù)勾股定理可得,
若四邊形AA′B′B為菱形,則AB=BB′=5,即B′(6,0).
故拋物線需向右平移5個單位,即:.
(3)依照題意畫出圖形,如圖所示,
由(2)得:平移后拋物線的對稱軸為:x=4,
∵A(2,4),B′(6,0),∴直線AB′:.
當x=4時,y=1,故C(4,1). ∴B′C=,AC=3,BC=.
由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C.
若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似,
則:①∠B′CD=∠ABC,則△B′CD∽△ABC,可得:,即,∴B′D=3,此時D(3,0);
②∠B′DC=∠ABC,則△B′DC∽△ABC,可得:即,∴,此時D(,0).
綜上所述,存在符合條件的D點,且坐標為:D(3,0)或(,0).
“點睛”本題考查了二次函數(shù)綜合題、平移問題、曲線上點的坐標與方程的關系、勾股定理、菱形的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質;本題主要考查了二次函數(shù)的應用問題,在解題時要根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質進行綜合分析是本題的關鍵.要注意分類思想的應用.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于點O , 點E是BC的中點 . 若OE=3cm , 則AB的長為( 。
A.3cm
B.6cm
C.9cm
D.12cm
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,然后解答后面的問題. 我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)組解,但在實際生活中我們往往只需要求出其正整數(shù)解.例:由2x+3y=12,得 ,(x、y為正整數(shù))∴ 則有0<x<6.又 為正整數(shù),則 為正整數(shù).
由2與3互質,可知:x為3的倍數(shù),從而x=3,代入 .
∴2x+3y=12的正整數(shù)解為
問題:
(1)請你寫出方程2x+y=5的一組正整數(shù)解:
(2)若 為自然數(shù),則滿足條件的x值有個;
A.2
B.3
C.4
D.5
(3)七年級某班為了獎勵學習進步的學生,購買了單價為3元的筆記本與單價為5元的鋼筆兩種獎品,共花費35元,問有幾種購買方案?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有13位同學參加學校組織的才藝表演比賽,已知他們所得的分數(shù)互不相同,共設7個獲獎名額,某同學知道自己的比賽分數(shù)后,要判斷自己能否獲獎,在這13名同學成績的統(tǒng)計量中只需知道一個量,它是____.(填“眾數(shù)”“方差”“中位數(shù)”或“平均數(shù)”)
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