Question

20、（1）如圖1，點E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四條邊上的點，若AE=BF=CM=DN，
求證：四邊形EFMN是平行四邊形；
（2）如圖2，當E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四條邊的中點時，試判斷四邊形EFMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）運用菱形的性質，證明三角形全等，利用三角形全等的性質證明EN=MF，EF=MN，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形得證．
（2）首先連接AC、BD．要證四邊形EFMN是矩形，只要證得NE⊥NM即可．先由菱形的對角線互相垂直，得AC⊥BD，再結合題意證得四邊形EFMN是平行四邊形，利用平行四邊形的性質，易證NE⊥NM，從而證得四邊形EFMN是矩形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵AE=BF=CM=DN，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△AEN≌△CMF，△BFE≌DNM．
∴EN=MF，EF=MN．
∴四邊形EFMN是平行四邊形．

（2）四邊形EFMN是矩形．
證明：連接AC、BD，
∵AC⊥BD，
∴E，F(xiàn)，M，N分別是菱形ABCD四條邊的中點．
∴NE∥BD，MF∥BD．
∴NE∥MF．
同理，得：NM∥AC，EF∥AC．
∴NM∥EF．
∴四邊形EFMN是平行四邊形．
∵NE∥BD，AC⊥BD，
∴NE⊥AC．
∵NM∥AC，
∴NE⊥NM．
∴平行四邊形EFMN是矩形．

點評：平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．