Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2 與x軸交于點C，直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交于點D、E.

（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求證：① CB=CE ；② D是BE的中點；

（3）若P(x，y)是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P,使得PB=PE,若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

  

Answer 1

（1）∵ 點B(-2,m)在直線y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3.                 

∴ B(-2,3)

∵ 拋物線經(jīng)過原點O和點A，對稱軸為x=2，

∴ 點A的坐標(biāo)為(4,0) ．             

設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4). 

將點B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，即. （5分）

   （2）①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點坐標(biāo)分別為D(0,-1) E(2,-5).

          過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，

          則BG⊥直線x=2，BG=4.

     在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5. 

②過點E作EH∥x軸，交y軸于H，

則點H的坐標(biāo)為H(0,-5).

又點F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

          ∴ △DFB≌△DHE （SAS），

∴ BD=DE.

即D是BE的中點.                 

   （3）  存在.                          

          由于PB=PE，∴ 點P在直線CD上，

∴ 符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.

          設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.

          將D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得  .

          ∴ 直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x-1

∵ 動點P的坐標(biāo)為)，

∴.   x－1=               

解得 ，.    ∴ ，.

∴ 符合條件的點P的坐標(biāo)為(，)或(，).