Question

【題目】如圖，在以A、B、C、D、E為頂點的五面體中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，AB=2BE=4AD=4．
（1）O為AB的中點，F(xiàn)是線段BE上的一點，BE=4BF，證明：OF∥平面CDE；
（2）當直線DE與平面CBE所成角的正切值為 時，求平面CDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，取BE中點G．連接AG，

∵AD∥BE，AB=2BE=4AD=4．∴AD+EG，AD∥EG

∴四邊形ADEG為平行四邊形，即AG∥ED，

又∵O為AB的中點，F(xiàn)是線段BE上的一點，BE=4BF，

∴F為BG中點，OF∥AG，OF∥DE

∵OF面CDE，DE面CDE，∴OF∥平面CDE

（2）如圖2，由（1）得AG∥DE，∴直線DE與平面CBE所成角等于直線AG與平面CBE所成角．．

∵AD⊥平面ABC，AD∥BE，AC⊥CB，∴ AC⊥面BCE．

連接CG，∴∠AGC就是直線AG與平面CBE所成角，∴tan∠AGC= ，可得sin

又∵AG= ，∴AC=2 ，

在直角△ABC中，∵AB=4，∴BC=2 ，

連接OC，可得OC⊥AB，故以O(shè)為原點，射線OC，OB分別為x，y軸，建立空間直角坐標系，

則C（2，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，﹣2，1），B（0，2，0），E（0，2，2）．

設(shè)面CDE的法向量為 ， ，

由 ，可得 ，

可知平面ABC的法向量為 ．

∴cos＜ ， ＞= ．

平面CDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值為

【解析】（1）如圖1，取BE中點G．連接AG，只需AG∥ED∥OF即可得到OF∥平面CDE（2）由（Ⅰ）得AG∥DE，∴直線DE與平面CBE所成角等于直線AG與平面CBE所成角． 易得AC⊥面BCE．連接CG，∴∠AGC就是直線AG與平面CBE所成角，∴tan∠AGC= ，可得 AC=2 ，BC=2 ，
連接OC，可得OC⊥AB，故以O(shè)為原點，射線OC，OB分別為x，y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．