Question

已知：如圖1，△ABC中，∠B＞∠C，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)P是AD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P畫PH⊥BC于H
（1）求證：∠DPH=

1

2

（∠B-∠C）；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AD的延長線上的點(diǎn)時，過點(diǎn)P畫PH⊥BC于H，上述結(jié)論任然成立嗎？請你作出判斷并加以說明．

Answer 1

分析：（1）由題意推出∠BAD=∠CAD，∠DPH=90°-∠PDH，再由三角形內(nèi)角和定理推出∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），通過等量代換，即可推出結(jié)論，
（2）根據(jù)題意，即可推出∠BAD=∠CAD，∠DPH=90°-∠PDH=90°-∠DAC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，推出∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），最后通過等量代換即可推出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PH⊥BC于H，
∴∠DPH=90°-∠PDH，
∵∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DPH=90°-∠PDH
=90°-（∠DAC+∠C）
=90°-

1

2

（180°-∠B-∠C）-∠C
=

1

2

（∠B-∠C）．

（2）解：上述結(jié)論仍然成立．
證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PH⊥BC于H，
∴∠DPH=90°-∠PDH=90°-∠DAC，
∵∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∴∠DPH=90°-∠PDH，
=90°-（∠DAC+∠C）
=90°-

1

2

（180°-∠B-∠C）-∠C
=

1

2

（∠B-∠C）．

點(diǎn)評：本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)定理，關(guān)鍵在于認(rèn)真的進(jìn)行計算，熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理．