Question

1．關(guān)于x的一元二次方程（m²-4）x²+（2m+3）x+1=0．
①若此方程有解，試求m的取值范圍；
②是否存在實(shí)數(shù)m，使此方程的兩根的倒數(shù)和為7？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 ①根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m²-4≠0且△=（2m+3）²-4（m²-4）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
②設(shè)方程的兩根為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=-$\frac{2m+3}{{m}^{2}-4}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{m}^{2}-4}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$變形為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的分式方程，解方程經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．

解答 解：①根據(jù)題意得m²-4≠0且△=（2m+3）²-4（m²-4）≥0，
解得m≥-$\frac{25}{12}$且m≠±2；
②設(shè)方程的兩根為x₁、x₂，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出
x₁+x₂=-$\frac{2m+3}{{m}^{2}-4}$、x₁•x₂=$\frac{1}{{m}^{2}-4}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2m-3=7，
∴m=-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．