Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD平分∠ACB，∠ACB=90°，求證：CA+CB=CD．

Answer 1

證明：連接AD，BD，過A作AM⊥CD，過B作BN⊥CD，垂足分別為M、N，
∵AB為直徑，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°，
∴△ACM與△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=CA，在Rt△BCN中，CN=CB，
∴CM+CN=（CA+CB），
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM與△BDN中，
，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形兩直角邊相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=（CA+CB），
∴CA+CB=CD．
分析：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及角平分線的定義可得∠ACD=∠BCD=45°，過A作AM⊥CD，過B作BN⊥CD，垂足分別為M、N，得到△ACM與△BCN都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系可得CM=CA，BN=CB，再利用角角邊定理證明△ADM與△BDN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到DN=AM，所以DN=CM，從而得到CM+CN=DN+CN=CD，整理即可得證．
點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．