Question

如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC外接圓OO于點E，連接BE、CE．
（1）若AB=2CE，AD=6，求CD的長；
（2）求證：C、I兩個點在以點E為圓心，EB為半徑的圓上．

Answer 1

分析：（1）把已知的線段和要求的線段可以構造到兩個相似三角形中，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等進行求解；
（2）根據(jù)點和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系，只需證明IE=CE=EB．根據(jù)圓周角定理的推論以及三角形的外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點即可證明．

解答：（1）解：∵∠BAD=∠ECD，∠ABD=∠CED，
∴△ABD∽△CED，
∴

CD

AD

=

CE

AB

，
∴CD=3．

（2）證明：連接IB．
∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴弧BE=弧CE，則BE=CE，
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠IBD+∠CAD=∠IBD+∠CBE=∠IBE，
∴IE=BE，
即C、I兩個點在以點E為圓心，EB為半徑的圓上．

點評：綜合運用了圓周角定理的推論、三角形的內(nèi)心的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握用數(shù)量關系判斷點和圓的位置關系的方法．