Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，D為拋物線對稱軸上一動點，求D運動到什么位置時△DAC的周長最�。�

（3）如圖2，點E在第一象限拋物線上，AE與BC交于點F，若AF：FE＝2：1，求E點坐標；

（4）點M、N同時從B點出發(fā)，分別沿BA、BC方向運動，它們的運動速度都是1個單位/秒，當點M運動到點A時，點N停止運動，則當點N停止運動后，在x軸上是否存在點P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）點P的坐標P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．

【解析】

（1）直接待定系數(shù)法代入求解即可 （2）找到D點在對稱軸時是△DAC周長最小的點，先求出直線BC，然后D點橫坐標是1，直接代入直線BC求出縱坐標即可 （3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易證△ABF∽△EHF，得,得EH=2，設(shè)E（x，），則H（x﹣2，），yE＝yH，解出方程x＝1或x＝2，得到E點坐標 （4）△PBN是等腰三角形，分成三種情況，①BP＝BC時，利用等腰三角性質(zhì)直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②當NB＝NP時，作NH⊥x軸，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH從而得到 PH＝BH，BP，進而得到OP，即得到P點坐標，③當PN＝PB時，取NB中點K，作KP⊥BN，交x軸于點P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，進而得到OP，即求出P點坐標

解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，

得

解得a＝，b＝，

∴拋物線的解析式；

（2）

∴拋物線對稱軸為直線x＝1，

∴D的橫坐標為1，

由（1）可得C（0，4），

∵B（3，0），

∴直線BC：

∵DA＝DB，

△DAC的周長＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，

連接BC，與對稱軸交于點D，

此時CD+BD最小，

∵AC為定值，

∴此時△DAC的周長，

當x＝1時，y＝﹣×1+4＝，

∴D（1，）；

（3）作EH∥AB交BC于H，則∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，

∴△ABF∽△EHF，

∵AF：FE＝2：1，

∴，

∵AB＝4，

∴EH＝2，

設(shè)E（x，），則H（x﹣2，）

∵EH∥AB，

∴yE＝yH，

∴=

解得x＝1或x＝2，

y＝或4，

∴E（1，）或（2，4）；

（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）

∴AB＝4，OC＝4，

點M運動到點A時，BM＝AB＝4，

∴BN＝4，

∵△PBN是等腰三角形，

①BP＝BC時，

若P在點B左側(cè)，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，

∴P1（﹣1，0），

若P在點B右側(cè)，OP＝OB+BP＝4+3＝7，

∴P2（7，0）；

②當NB＝NP時，作NH⊥x軸，

△NHB∽△COB，

∴

∴NH＝OC＝＝，

BH＝BC＝，

∴PH＝BH＝，

BP＝，

∴OP＝BP﹣OB＝，

∴P3（﹣，0）；

③當PN＝PB時，

取NB中點K，作KP⊥BN，交x軸于點P，

∴△NOB∽△PKB，

∴

∴PB＝，

∴OP＝OB﹣PB＝3﹣＝

P4（，0）

綜上，當△PBN是等腰三角形時，點P的坐標P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．