Question

【題目】如圖所示，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(2a-1，4)，B(-3，3b+1)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱。

(1)求A、B的坐標(biāo)

(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A點(diǎn)、B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿直線AB向右運(yùn)動(dòng)，同向而行，P點(diǎn)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，Q點(diǎn)的速度是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)0＜t＜3時(shí).

①請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示三角形OPQ的面積S，

②在平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)相等，且滿足，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出當(dāng)＝15時(shí)，三角形OPQ的面積.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4）．（2）①S＝12-4t；．②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-2）或（10，10），當(dāng)S△AQM=15時(shí)，三角形OPQ的面積是11或1．

【解析】

（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱可知點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，從而解答本題．

（2）①0＜t＜3時(shí)，點(diǎn)P在前，Q在后，表示出PQ的長(zhǎng)度，即可解決問題；

②根據(jù)題意和①中求得的關(guān)系式，可以先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形OPQ的面積．

（1）∵A（2a-1，4），B（-3，3b+1），A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴2a-1=3，3b+1=4．

解得a=2，b=1．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4）．

（2）①∵AP=2t，BQ=4t，AB=6，

∴當(dāng)0＜t＜3時(shí)，PQ=6+2t-4t=6-2t；

∴當(dāng)0＜t＜3時(shí)，S=PQ×4=×（6-2t）×4=12-4t；

②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x）．

當(dāng)0＜t＜3時(shí)，

∵S△PQM：S△OPQ=3：2，S△PQM＝=（3-t）×|4-x|，S△OPQ=12-4t．

∴．

解得，x=-2或x=10

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-2）或（10，10）

∵S△AQM=15，即S△AQM＝（0＜t＜3），

∴t=或t=，

∴當(dāng)t=時(shí)，S△OPQ＝124×＝11，當(dāng)t=時(shí)，S△OPQ=12-4×=1；

由上可得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-2）或（10，10），當(dāng)S△AQM=15時(shí)，三角形OPQ的面積是11或1．