Question

【題目】已知拋物線：和拋物線：，其中．

下列說法你認(rèn)為正確的序號(hào)是______；

拋物線和與y軸交于同一點(diǎn)；

拋物線和開口都向上；

拋物線和的對(duì)稱軸是同一條直線；

當(dāng)時(shí)，拋物線和都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

拋物線和相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)k的值發(fā)生變化時(shí)，請(qǐng)判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化，并說明理由；

在中，若拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線的頂點(diǎn)為N，問：

是否存在實(shí)數(shù)k，使？如存在，求出實(shí)數(shù)k；如不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①③④；（2）；（3）

【解析】

（1）①分別把代入即可；

②根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行判斷；

③拋物線的對(duì)稱軸是：，代入計(jì)算即可；

④根據(jù)△來判斷；

（2）由對(duì)稱性可知：兩條拋物線相交的另一個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，由得：，則就等于，所以線段；

（3）存在實(shí)數(shù)，使，利用配方法分別求、的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的距離得：的長，利用解方程即可．

解：拋物線：經(jīng)過，拋物線：經(jīng)過，

拋物線和與y軸交于同一點(diǎn)；

所以結(jié)論正確；

拋物線：，則拋物線開口向下，

拋物線：k不確定為正數(shù)或負(fù)數(shù)，則拋物線的開口也不確定；

所以結(jié)論不正確；

拋物線：對(duì)稱軸為直線：，

拋物線：對(duì)稱軸為直線：，

拋物線和的對(duì)稱軸是同一條直線；

所以結(jié)論正確；

拋物線：，

，

當(dāng)時(shí)，，所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

拋物線：，

，

當(dāng)時(shí)，，所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，拋物線和都與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以結(jié)論正確；

故說法正確的序號(hào)是：；

故答案為：；

注：每個(gè)正確選項(xiàng)得1分，選錯(cuò)不得分。

由可知：點(diǎn)是拋物線和與y軸一個(gè)交點(diǎn)，

兩條拋物線相交的另一個(gè)交點(diǎn)E與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相等，

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)和重合，

當(dāng)時(shí)，k的值變化時(shí)，線段EF的長不會(huì)變化，

理由是：拋物線和的對(duì)稱軸是同一條直線：直線，又；

點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

則EF就等于，

所以線段；

存在實(shí)數(shù)k，使，

，

拋物線，頂點(diǎn)，

拋物線，頂點(diǎn)，

由題意得：，

解得：．