Question

【題目】一張半徑為2的半圓圖紙沿它的一條弦折疊，使其弧與直徑相切，如圖所示，O為半圓圓心，如果切點(diǎn)分直徑之比為3：1，則折痕長為（　　）

A. 3 B. C. D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點(diǎn)為A、G，過切點(diǎn)F作PF⊥半徑OE交OP于P點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理及其推論得到BD=DC，即OP為BC的中垂線，OP必過弧BGC所在圓的圓心，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到PF必過弧BGC所在圓的圓心，則點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心，根據(jù)折疊的性質(zhì)有⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，由F點(diǎn)分⊙O的直徑為3：1兩部分可計(jì)算出OF=1，在Rt△OPF中，設(shè)OG=x，利用勾股定理可計(jì)算出x，則由AG=PG-AP計(jì)算出AG，可得到DG的長，于是可計(jì)算出OD的長，在Rt△OBD中，利用勾股定理計(jì)算BD，即可得到BC的長．

過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點(diǎn)為A、G，過切點(diǎn)F作PF⊥半徑OE交OP于P點(diǎn)，如圖，

∵OP⊥BC，

∴BD=DC，即OP為BC的中垂線，

∴OP必過弧BGC所在圓的圓心，

又∵OE為弧BGC所在圓的切線，PF⊥OE，

∴PF必過弧BGC所在圓的圓心，

∴點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心，

∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，

∴⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，

∴OG=AP，

而F點(diǎn)分⊙O的直徑為3：1兩部分，

∴OF=1，

在Rt△OPF中，設(shè)OG=x，則OP=x+2，

∴OP2=OF2+PF2，即（x+2）2=12+22，解得x=-2，

∴AG=2-（-2）=4-，

∴DG=，

∴OD=OG+DG=-2+2-=，

在Rt△OBD中，BD2=OB2+OD2，即BD2=22-（）2，

∴BD=，

∴BC=2BD=．

故選C．