Question

【題目】

如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為頂點(diǎn)，已知點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上找一點(diǎn)，使的面積最大，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖2，連結(jié)、，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)。過拋物線上一點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：；

（2）當(dāng)時(shí)，S△BCD取最大值，此時(shí)P（，）；

（3）點(diǎn)M坐標(biāo)為（，）或（）.

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0）的坐標(biāo)代入所給拋物線可得a、b的值，進(jìn)而得到該拋物線的解析式；(2) ）由題意設(shè)P（），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)Q，再求得直線CB解析式，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求得PQ的長，利用S△BCD=得出以S、x為變量的二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得x的值，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo).（3）先求得點(diǎn)C，點(diǎn)E和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再分當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)兩種情況求解即可.

試題解析：

解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入得：

解得：

∴拋物線的表達(dá)式為：

（2）由題意設(shè)P（），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)Q，

直線CB解析式：， 則Q（）

∴PQ=

S△BCD=

∵，∴當(dāng)時(shí)，S△BCD取最大值，

此時(shí)P（）

（3）∵拋物線y=﹣（x﹣3）（x+1）=﹣x2+2x+3與與y軸交于點(diǎn)C，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），頂點(diǎn)（1,4），E（1,0）

∴tan∠BDE=

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)時(shí)．

i）若點(diǎn)N在射線CD上，

如圖，過點(diǎn)N作y軸的垂線，垂足為G，過點(diǎn)M作GN的垂線，垂足為H，

則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，∴tan∠CMN = tan∠BDE

∴△CNG，△MNH相似比為1:2

設(shè)CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（3a,3+a-2a），即M（3a,3-a），

代入得：

解得：

此時(shí)M（）

ii）若點(diǎn)N在射線DC上，

如圖，過點(diǎn)N作x軸的垂線l，分別過點(diǎn)M、C作GN的垂線，垂足為H、G，

則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，∴tan∠CMN = tan∠BDE

∴△CNG，△MNH相似比為1:2

設(shè)CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（a,3-a-2a），即M（a,3-3a），

代入得：

解得：

此時(shí)M（）

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸左側(cè)時(shí)．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°，

∴點(diǎn)M不存在．

綜上可知，點(diǎn)M坐標(biāo)為（ ， ）或（）．