【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,,以BC為直徑作交AB于點(diǎn)E,D為AC邊的中點(diǎn),連接OD、DE,
(1)求證:DE是的切線(xiàn).
(2)填空:①若,,則的半徑長(zhǎng)是__________.
②當(dāng)∠A=__________時(shí),四邊形OCDE是正方形.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)① ;② 45°
【解析】
(1)連接OE、CE,由圓周角定理得出∠BEC=90°,則∠AEC=90°,由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出AD=CD=DE,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DEC=∠DCE,∠OCE=∠OEC,證出∠OED=90°,即可得出結(jié)論;
(2)①由勾股定理求出CE=2,證△OCE∽△DAE,得出比例式,求出OC的長(zhǎng)即可;
②證△ABC是等腰直角三角形,得出∠ABC=45°,證四邊形OCDE是矩形,由OC=OE,即可得出四邊形OCDE是正方形.
(1)證明:連接OE、CE,如圖所示:
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BEC=90°,
∴∠AEC=90°,
∵D是AC的中點(diǎn),
∴DE=AC=AD=CD,
∴∠DEC=∠DCE,
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∵∠ACB=90°,
∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE=∠ACB=90°,
∴∠OED=90°,即OE⊥DE,
∵E為⊙O上的點(diǎn),
∴DE是⊙O的切線(xiàn);
(2)解:①∵AC=3,
∴AD=DE=AC=,
∵∠AEC=90°,
∴,
∵∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠OCE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBE+∠DAE=90°,
∴∠OCE=∠DAE,
∵AD=DE,OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC=∠DAE=∠DEA,
∴△OCE∽△DAE,
∴,
即,
解得:OC=3,
故答案為:3;
②當(dāng)∠A=45°時(shí),四邊形OCDE是正方形;理由如下:
∵∠A=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB=45°,
∴∠COE=∠OBE+∠OEB=45°+45°=90°,
∵∠ACB=90°,∠OED=90°,
∴四邊形OCDE是矩形,
∵OC=OE,
∴四邊形OCDE是正方形;
故答案為:45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對(duì)直角三角板如圖放置,點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線(xiàn)上,點(diǎn)B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,則CD的長(zhǎng)度是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,
sin245°+sin245°=+=1.
據(jù)此,小明猜想:對(duì)于任意銳角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(1)當(dāng)α=30°時(shí),驗(yàn)證sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;
(2)小明的猜想是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)舉出一個(gè)反例.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①ac<0,②b﹣2a<0,③b2﹣4ac<0,④a﹣b+c<0,正確的是( )
A.①②B.①④C.②③D.②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1,0)、B(4,0),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求該函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC,垂足為點(diǎn)Q,連接PC.
①求線(xiàn)段PQ的最大值;
②若以點(diǎn)P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)、B(1,0),交y軸于點(diǎn)C.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式.
(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H,求線(xiàn)段PH長(zhǎng)度的最大值.
(3)Q為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B、C重合),軸于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A、Q、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在新冠疫情防控期間,某醫(yī)療器械商業(yè)集團(tuán)新進(jìn)了40臺(tái)A型電子體溫測(cè)量?jī)x,60臺(tái)B型電子體溫測(cè)量?jī)x,計(jì)劃調(diào)配給下屬的甲、乙兩個(gè)連鎖店銷(xiāo)售,其中70臺(tái)給甲連鎖店,30臺(tái)給乙連鎖店.兩個(gè)連鎖店銷(xiāo)售這兩種測(cè)量?jī)x每臺(tái)的利潤(rùn)(元)如下表:
A型 | B型 | |
甲連鎖店 | 200 | 170 |
乙連鎖店 | 160 | 150 |
設(shè)集團(tuán)調(diào)配給甲連鎖店臺(tái)A型測(cè)量?jī)x,集團(tuán)賣(mài)出這100臺(tái)測(cè)量?jī)x的總利潤(rùn)為(元).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出的取值范圍:
(2)為了促銷(xiāo),集團(tuán)決定僅對(duì)甲連鎖店的A型測(cè)量?jī)x每臺(tái)讓利元銷(xiāo)售,其他的銷(xiāo)售利潤(rùn)不變,并且讓利后每臺(tái)A型測(cè)量?jī)x的利潤(rùn)仍然高于甲連鎖店銷(xiāo)售的每臺(tái)B型測(cè)量?jī)x的利潤(rùn),問(wèn)該集團(tuán)應(yīng)該如何設(shè)計(jì)調(diào)配方案,使總利潤(rùn)達(dá)到最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在某海域,一艘指揮船在處收到漁船在處發(fā)出的求救信號(hào),經(jīng)確定,遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的處位于處的南偏西45°方向上,且海里;指揮船搜索發(fā)現(xiàn),在處的南偏西60°方向上有一艘海監(jiān)船,恰好位于處的正西方向.于是命令海監(jiān)船前往搜救,已知海監(jiān)船的航行速度為30海里/小時(shí),問(wèn)漁船在處需要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到海監(jiān)船的救援?(參考數(shù)據(jù):、、結(jié)果精確到0.1小時(shí))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某校九年級(jí)男生1000米跑的水平,從中隨機(jī)抽取部分男生進(jìn)行測(cè)試,并把測(cè)試成績(jī)分為D、C、B、A四個(gè)等次繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你依圖解答下列問(wèn)題:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示C等次的扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù)為 度;
(3)學(xué)校決定從A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,隨機(jī)選取兩名男生參加全市中學(xué)生1000米跑比賽,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法,求甲、乙兩名男生同時(shí)被選中的概率.
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