Question

在△ABC中，AB=BC，點O是△ABC的外心，連接AO并延長交BC于D，交△ABC的外接圓于E，過點B作⊙O的切線交AO的延長線于Q，設(shè)OQ=，BQ=3．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若DE=，求四邊形ACEB的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，根據(jù)BQ是圓的切線，則△OBQ是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求得半徑OB的長；
（2）根據(jù)AB=BC，O是△ABC的外心，可以得到：BC⊥AC，且AE是直徑，BE=CE．易證△BOD∽△CED，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得CE的長，在Rt△ACE中根據(jù)勾股定理求得AC的長，在Rt△ABE中求得BE的長，據(jù)此即可求得四邊形的周長．
解答：解：（1）連接OB．
∵BQ與⊙O相切，
∴∠OBQ=90°
∴OB===．
故半徑是：；

（2）連接BO并延長交AC于點F，
∵AB=BC則=，
∴BF⊥AC，
又∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=∠ABE=90°，
∴BF∥CE，
∴△BOD∽△CED，
∴=，
∴CE===1，
∴在Rt△ACE中，AE=3，CE=1，則AC=2，
又O是AE的中點，∴OF=CE=，
則BF=2．
∴在Rt△ABE中，BE=，
∴四邊形ACEB的周長是：1+2++．
點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)定理，以及勾股定理，并多次運用了勾股定理，其中根據(jù)AB=AC和O是△ABC的內(nèi)心，得到BF⊥AC，且AE是直徑，是解決本題的關(guān)鍵．