Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD、DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（P、Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)即終止）．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；
（2）試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來(lái)求解．過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，很顯然AE=BF，四邊形DQPE和QCFP是矩形，那么就能用等腰梯形的上下底的差求出AE，BF的長(zhǎng)，然后可用時(shí)間表示出CQ，DQ，AP的長(zhǎng)，由于DQ=EP，因此可用AP=AE+EP求出時(shí)間的值．
（2）先要求出梯形的面積，那么求出高就是關(guān)鍵，在直角三角形AED中，可用勾股定理求出高，也就求出了四邊形QPBC的面積，由于Q在CD和DA上運(yùn)動(dòng)，因此要分Q在CD上，和Q在AD上兩種情況進(jìn)行討論．
當(dāng)Q在CD上時(shí)，可用時(shí)間t表示出CQ和BP的長(zhǎng)，然后根據(jù)計(jì)算出的高和四邊形CQPB的面積，來(lái)求出時(shí)間t的值，要注意當(dāng)Q在CD上時(shí)，t應(yīng)該在0-2秒內(nèi)，可用這個(gè)取值范圍來(lái)判定求出的值是否符合題意．
當(dāng)Q在AD上時(shí)，四邊形QPBC是個(gè)不規(guī)則的四邊形，那么根據(jù)他的面積是梯形的一半，那么四邊形QPBC的面積就應(yīng)該等于三角形CDQ和AQP的面積和，那么就需要作出這兩個(gè)三角形的高以便求出面積，過點(diǎn)Q作HG⊥AB于G，交CD的延長(zhǎng)線于H．求出QH和QG就是解題的關(guān)鍵．
可以用時(shí)間t先表示出CQ，AP，然后根據(jù)CD+DQ=CQ進(jìn)而表示出QD和AQ，那么我們可在直角三角形AQG中根據(jù)∠A的度數(shù)求出QG，然后根據(jù)求出的梯形的高得出QH的值，這樣就能用含t的式子表示出三角形QDC和AQP的面積，也就是四邊形QPBC的面積，根據(jù)求出的四邊形的面積可得出t的值，要注意Q在AD上時(shí)，取值范圍是2-4秒，因此可根據(jù)這個(gè)取值范圍判定求出的t是否符合題意．

解答：解：（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，如圖1．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴DE=CF．
又∵AD=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，AE=BF．
又CD=2cm，AB=8cm，
∴EF=CD=2cm，
AE=BF=

1

2

（8-2）=3（cm）．
若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形．
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
∴t=

5

3

．

（2）在Rt△ADE中，DE=

36-9

=3

3

（cm），
S_梯形ABCD=

1

2

（8+2）×3

3

=15

3

（cm²）．
當(dāng)S_{四邊形PBCQ}=

1

2

S_梯形ABCD時(shí)，
①如圖2，若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t＜2，
則CQ=t，BP=8-2t．
S_{四邊形PBCQ}=

1

2

（t+8-2t）×3

3

=

15 3

2

，
解之得t=3（舍去）．
②如圖3，若點(diǎn)Q在AD上，即2≤t＜4．
過點(diǎn)Q作HG⊥AB于G，交CD的延長(zhǎng)線于H．
由圖1知，sin∠ADE=AE：AD=

1

2

，
∴∠ADE=30°，
則∠A=60度．在Rt△AQG中，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°=

3 (8-t)

2

，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ•sin60°=

3 (t-2)

2

．
由題意知，S_{四邊形PBCQ}=S_△APQ+S_△CDQ=

1

2

×2t×

3 (8-t)

2

+

1

2

×2×

3 (t-2)

2

=

15 3

2

，
即t²-9t+17=0，解之得t1=

9+ 13

2

（不合題意，舍去），t2=

9- 13

2

．
答：存在t=

9- 13

2

，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．

點(diǎn)評(píng)：本題要根據(jù)Q點(diǎn)的位置來(lái)判斷四邊形CQPB的形狀，進(jìn)而選擇合適的解題方法．本題中通過輔助線作出梯形的高，構(gòu)建出直角三角形是解題的關(guān)鍵．