Question

圖1至圖4的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網(wǎng)格（每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)），其對(duì)稱中心為點(diǎn)O．
如圖1，有一個(gè)邊長(zhǎng)為6個(gè)單位長(zhǎng)的正方形EFGH的對(duì)稱中心也是點(diǎn)O，它以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由起始位置向外擴(kuò)大（即點(diǎn)O不動(dòng)，正方形EFGH經(jīng)過(guò)一秒由6×6擴(kuò)大為8×8；再經(jīng)過(guò)一秒，由8×8擴(kuò)大為10×10；…），直到充滿正方形ABCD，再以同樣的速度逐步縮小到起始時(shí)的大小，然后一直不斷地以同樣速度再擴(kuò)大、再縮小．
另有一個(gè)邊長(zhǎng)為6個(gè)單位長(zhǎng)的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按A→B→C→D→A移動(dòng)（即正方形MNPQ從點(diǎn)P與點(diǎn)A重合位置開始，先向左平移，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，再向上平移，…）．
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，它們的重疊部分面積為y個(gè)平方單位．
（1）當(dāng)正方形MNPQ第一次回到起始位置時(shí)，正方形EFGH是否也變化到起始位置？
（2）請(qǐng)你在圖2和圖3中分別畫出x為3秒、18秒時(shí)，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分（重疊部分用陰影表示），并分別寫出重疊部分的面積；
（3）正方形EFGH第一次充滿正方形ABCD之前（即x≤7時(shí)），何時(shí)正方形EFGH和正方形MNPQ重疊部分的面積為3平方單位．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得：正方形EFGH每次變化到起始位置所需時(shí)間為14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需時(shí)間為56秒，又由56÷14=4，即可得此時(shí)正方形EFGH也變化到起始位置；
（2）根據(jù)題意即可作出圖形，由圖形即可得當(dāng)x=3時(shí)，y=10； 當(dāng)x=18時(shí)，y=18；
（3）分別從①當(dāng)x＜1時(shí)，②當(dāng)1≤x≤3.5時(shí)，③當(dāng)3.5≤x≤7時(shí)去分析，根據(jù)題意列方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）正方形EFGH每次變化到起始位置所需時(shí)間為14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需時(shí)間為56秒，
∵56÷14=4，
∴此時(shí)正方形EFGH也變化到起始位置．…（2分）

（2）相應(yīng)的圖形如圖1、圖2．…（6分）
當(dāng)x=3時(shí)，y=10；    
當(dāng)x=18時(shí)，y=18．  …（7分）

（3）①當(dāng)x＜1時(shí)，兩正方形無(wú)重疊；
②當(dāng)1≤x≤3.5時(shí)，如圖3：
延長(zhǎng)MN交AD于K，設(shè)MN與HG交于S，MQ與FG交于T，
則MK=6+x，SK=TQ=7-x，
從而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
∴y=MT•MS=（x-1）（2x-1）=2x²-3x+1． …（10分）
令y=3，則2x²-3x+1=3
解之得：x₁=-

1

2

（舍去），x₂=2，…（12分）
③當(dāng)3.5≤x≤7時(shí)，y=MN•MT=6（x-1）=6x-6
令y=3，則6x-6=3，解得：x=

3

2

（不合題意，舍去）
∴當(dāng)x=2時(shí)，重疊部分的面積為3平方單位．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到規(guī)律：正方形EFGH每次變化到起始位置所需時(shí)間為14秒，正方形MNPQ第一次回到起始位置所需時(shí)間為56秒，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．