(2006•河北)圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網(wǎng)格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經(jīng)過一秒由6×6擴大為8×8;再經(jīng)過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小.
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按A?B?C?D?A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當(dāng)點Q與點B重合時,再向上平移,當(dāng)點M與點C重合時,再向右平移,當(dāng)點N與點D重合時,再向下平移,到達起始位置后仍繼續(xù)按上述方式移動).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設(shè)運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(2)①如圖4,當(dāng)1≤x≤3.5時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖5,當(dāng)3.5≤x≤7時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
③如圖6,當(dāng)7≤x≤10.5時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
④如圖7,當(dāng)10.5≤x≤13時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程,請你根據(jù)重疊部分面積y的變化情況,指出y取得最大值和最小值時,相對應(yīng)的x的取值情況,并指出最大值和最小值分別是多少.(說明:問題(3)是額外加分題,加分幅度為1~4分)
【答案】分析:(1)當(dāng)x=2時,Q離AD的距離為6+2=8,而G離AD的距離為7-2=5,因此重合部分的長為3.同理可求得重合部分的寬為1,因此y=3.
當(dāng)x=18時,正方形MNPQ走完AB需14秒,因此x=18時,正方形MNPQ在BC邊上運動了4秒,而正方形EHFG擴張到最大需7秒再縮小到原來的大小需7秒,因此x=18時,正方形EHFG重復(fù)第二次運動,且第二次運動過程中運動了4秒,因此MN離AB的距離為6+4=10,OP離AB的距離為4,因此重合部分的長為6,同理可求得重合部分的寬為3,y=3×6=18.
(2)①當(dāng)1≤x≤3.5時,是正方形EHGF第一次向外擴張的過程,此時MK=x+6,SK=7-x,因此MS=2x-1.同理可求得SG的長,由此可得出重合部分的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式.
②當(dāng)3.5≤x≤7時,正方形EHGF第一次向內(nèi)收縮,此時重合部分的長不變?yōu)镸N的長即6,而EQ=x,NP=6,因此重合部分的寬為6-x,由此可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
③當(dāng)7≤x≤10.5時,正方形EHGF第二次向外擴張,此時重合部分的寬仍為MN的長即6,MQ=6,TQ=x-7,因此MT=13-x,由此可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
④當(dāng)10.5≤x≤13時,正方形EHGF第二次向內(nèi)收縮,解法參照①.
(3)根據(jù)②中x不同區(qū)間的y的函數(shù)關(guān)系式,可根據(jù)各函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求出y的最大或最小值.
解答:解:(1)相應(yīng)的圖形如圖1,2.
當(dāng)x=2時,y=3;
當(dāng)x=18時,y=18.


(2)①當(dāng)1≤x≤3.5時,如圖3,
延長MN交AD于K,
設(shè)MN與HG交于S,MQ與FG交于T,則MK=6+x,SK=TQ=7-x,從而MS=MK-SK=2x-1,MT=MQ-TQ=6-(7-x)=x-1.
∴y=MT•MS=(x-1)(2x-1)=2x2-3x+1.
②當(dāng)3.5≤x≤7時,如圖4,
設(shè)FG與MQ交于T,則
TQ=7-x,
∴MT=MQ-TQ=6-(7-x)=x-1.
∴y=MN•MT=6(x-1)=6x-6.
③當(dāng)7≤x≤10.5時,如圖5,
設(shè)FG與MQ交于T,則
TQ=x-7,
∴MT=MQ-TQ=6-(x-7)=13-x.
∴y=MN•MT=6(13-x)=78-6x.
④當(dāng)10.5≤x≤13時,如圖6,
設(shè)MN與EF交于S,NP交FG于R,延長NM交BC于K,則MK=14-x,SK=RP=x-7,
∴SM=SK-MK=2x-21,從而SN=MN-SM=27-2x,NR=NP-RP=13-x.
∴y=NR•SN=(13-x)(27-2x)=2x2-53x+351.

(3)對于正方形MNPQ,
①在AB邊上移動時,當(dāng)0≤x≤1及13≤x≤14時,y取得最小值0;
當(dāng)x=7時,y取得最大值36.
②在BC邊上移動時,當(dāng)14≤x≤15及27≤x≤28時,y取得最小值0;
當(dāng)x=21時,y取得最大值36.
③在CD邊上移動時,當(dāng)28≤x≤29及41≤x≤42時,y取得最小值0;
當(dāng)x=35時,y取得最大值36.
④在DA邊上移動時,當(dāng)42≤x≤43及55≤x≤56時,y取得最小值0;
當(dāng)x=49時,y取得最大值36.
點評:本題為壓軸題有一定難度,但難題也分層次性設(shè)計,只要平時多加積累解題經(jīng)驗,探解題規(guī)律,一定會有很大收獲.
命題立意:考查解決大綜合題的數(shù)學(xué)能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•河北)探索:
在如圖1至圖3中,△ABC的面積為a.

(1)如圖1,延長△ABC的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA.若△ACD的面積為S1,則S1=
a
a
(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如圖2,延長△ABC的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若△DEC的面積為S2,則S2=
2a
2a
(用含a的代數(shù)式表示);
(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖3).若陰影部分的面積為S3,則S3=
6a
6a
(用含a的代數(shù)式表示).
發(fā)現(xiàn):
像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍,連接所得端點,得到△DEF(如圖3),此時,我們稱△ABC向外擴展了一次.可以發(fā)現(xiàn),擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的
7
7
倍.
應(yīng)用:
去年在面積為10m2的△ABC空地上栽種了某種花卉.今年準備擴大種植規(guī)模,把△ABC向外進行兩次擴展,第一次由△ABC擴展成△DEF,第二次由△DEF擴展成△MGH(如圖4).則這兩次擴展的區(qū)域(即陰影部分)面積共為
480
480
m2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:022

(2006·河北)如圖所示是由邊長為1m的正方形地磚鋪設(shè)的地面示意圖,小明沿圖中所示的折線從A→B→C所走的路程為________m.(結(jié)果保留根號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2006年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》(09)(解析版) 題型:解答題

(2006•河北)圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網(wǎng)格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經(jīng)過一秒由6×6擴大為8×8;再經(jīng)過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮。
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按A?B?C?D?A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當(dāng)點Q與點B重合時,再向上平移,當(dāng)點M與點C重合時,再向右平移,當(dāng)點N與點D重合時,再向下平移,到達起始位置后仍繼續(xù)按上述方式移動).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設(shè)運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(2)①如圖4,當(dāng)1≤x≤3.5時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖5,當(dāng)3.5≤x≤7時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
③如圖6,當(dāng)7≤x≤10.5時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
④如圖7,當(dāng)10.5≤x≤13時,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程,請你根據(jù)重疊部分面積y的變化情況,指出y取得最大值和最小值時,相對應(yīng)的x的取值情況,并指出最大值和最小值分別是多少.(說明:問題(3)是額外加分題,加分幅度為1~4分)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2006年河北省中考數(shù)學(xué)試卷(大綱卷)(解析版) 題型:解答題

(2006•河北)圖1是某學(xué)校存放學(xué)生自行車的車棚的示意圖(尺寸如圖所示),車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分,其展開圖是矩形.圖2是車棚頂部截面的示意圖,所在圓的圓心為O.車棚頂部是用一種帆布覆蓋的,求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e.(不考慮接縫等因素,計算結(jié)果保留π)

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