Question

如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），O為原點(diǎn)，⊙A的半徑為1，點(diǎn)B是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，以直線BC為圖象的一次函數(shù)解析式為y=k（x+3）（k為常數(shù)，且k≠0）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，直線BC與⊙A相切？此時(shí)連接OB，求tan∠BOC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于以直線BC為圖象的一次函數(shù)解析式為y=k（x+3），由此即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若直線BC與⊙A相切，切點(diǎn)為B，連接AB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥BC，而AB=1，AC=2，所以∠DCO=30°，在Rt△CDO中利用OC=3即可求出OD的長度，然后就可以求出D的坐標(biāo)，然后求出直線的k值，最后利用三角函數(shù)的定義就可以求出tan∠BOC的值．
解答：解：（1）令y=0，則k（x+3）=0，
解得x=-3，（2分）
∴C（-3，0）；

（2）直線BC與⊙A相切，切點(diǎn)為B，連接AB，
則AB⊥BC，AB=1，AC=2，
∴∠DCO=30°．（6分）
在Rt△CDO中，∵OC=3，
∴OD=OC•tan∠DCO=，
∴D₁（0，）或D₂（0，-），
當(dāng)直線BC過點(diǎn)D₁時(shí)，
∴3k=，
解得k=，
當(dāng)直線BC過點(diǎn)D₂時(shí)，
∴3k=-，
解得k=-，
∴當(dāng)k=或-時(shí)，直線BC與⊙A相切；
在Rt△CDO中，∵∠DCO=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AB=AO，
∴∠BAO=∠BOC=∠BAC=30°，
∴tan∠BOC=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合題，分別利用了待定系數(shù)法和解直角三角形求出函數(shù)的解析式，同時(shí)也利用了直線與圓的位置關(guān)系解決問題，有一定的綜合性．