Question

【題目】如圖，拋物線的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3）,點(diǎn)D在x軸正半軸上，線段OD=OC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得⊿CDM是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，,連接QE.若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)的移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1） (2)符合題意的Ｍ有三點(diǎn)，分別是(2 , 3 )，(， )，(　， ) (3)存在，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為2．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+3. 將C（0，1）代入求得a的值即可；

（2）①C為直角頂點(diǎn)時(shí)，作CM⊥CD，CM交拋物線與點(diǎn)M，先求得直線CD的解析式，然后再求得直線CM的解析式，然后求得CM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；②D為直角頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，作DM⊥CD，先求得直線CM的解析式，然后將直線CM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)求出即可；

（3）存在. 作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C/，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C//，連接C/C//，交QE于點(diǎn)P，則△PCE即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知，△PCE的周長(zhǎng)等于線段C/C//的長(zhǎng)度，然后過點(diǎn)C/作C/N⊥y軸，然后依據(jù)勾股定理求得C/C//的長(zhǎng)即可.

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為

將C（0，1）代入得：

解得:

∴

(2)①C為直角頂點(diǎn)時(shí)

如圖①:CM⊥CD

設(shè)直線CD為,

∵OD=OC

∴OD=1

∴D(1,0)

把D(1,0)代入得:

∴

∵CM⊥CD,

∴易得直線CM為: 　

則: 　　　　

解之得:M(2 , 3 ),恰好與Q點(diǎn)重合.分

②D為直角頂點(diǎn)時(shí):

如圖②,易得：直線ＤＭ為

則：

則Ｍ為(， )或 (　， )　

綜上所述，符合題意的Ｍ有三點(diǎn)，分別是(2 , 3 )，(， )，(　， )．

(3) 在．

如圖③所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度．

（證明如下：不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′．

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長(zhǎng)=F′C″+F′P′+P′C′；

而F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′，C″之間的折線段，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，

即△P′CF′的周長(zhǎng)大于△PCE的周長(zhǎng)．）

如答圖④所示，連接C′E，

∵C，C′關(guān)于直線QE對(duì)稱，△QCE為等腰直角三角形，

∴△QC′E為等腰直角三角形，

∴△CEC′為等腰直角三角形，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，5）；

∵C，C″關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

過點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″==2．

綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為2．

“點(diǎn)睛”本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1是解答問題（2）的關(guān)鍵，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為線段C/C//的長(zhǎng)是解答問題（3）的關(guān)鍵.