Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，點A（0，3），點B（﹣3，0），點C（1，0），點D（0，1），連AB，AC，BD．

（1）求證：BD⊥AC；

（2）如圖②，將△BOD繞著點O旋轉(zhuǎn)，得到△B′OD′，當點D′落在AC上時，求AB′的長；

（3）試直接寫出（Ⅱ）中點B′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB'=；（3）B'（﹣， ）．

【解析】試題分析：（1）延長BD交AC于M，由SAS證明△AOC≌△BOD，得出對應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論；

（2）作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BOD=∠B′OD′=90°，OB=OB′，由矩形的性質(zhì)得出OF=AE，求出點B（-3，0），得出OB=OA=OB′，證出AE=EB′，由勾股定理得出AC=，由三角形的面積求出OF=，得出AB'=2AE=2OF=即可；

（3）由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-3x+3，得出直線OE的解析式為y=-3x，直線AB'的解析式為y=x+3，解方程組得出點E的坐標，設(shè)B'（a，b），由中點坐標公式即可得出答案．

試題解析：（1）證明：延長BD交AC于M，如圖①所示：

∵點A（0，3），點B（﹣3，0），點C（1，0），點D（0，1），

∴OA=OB=3，OC=OD=1，

在△AOC和△BOD中， ，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴∠OAC=∠OBD，

∵∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠OBD+∠ACO=90°，

∴∠BMC=90°，

∴BD⊥AC；

（2）解：作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，如圖②所示：

∵將△BOD繞著點O旋轉(zhuǎn)，得到△B′OD′，∠BOD=90°，

∴∠B′OD′=90°，OB=OB′，

∴四邊形OFAE是矩形，

∴OF=AE，

∵點A（0，3），點B（﹣3，0），

∴OB=OA=OB′，

∵OE⊥AB′，

∴AE=EB′，

由勾股定理得：AC=，

由三角形的面積得：ACOF=OAOC，

∴OF===，

∴AB'=2AE=2OF=；

（3）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

根據(jù)題意得： ，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣3x+3，

∵OE∥AC，AB'⊥AC，

∴直線OE的解析式為y=﹣3x，直線AB'的解析式為y=x+3，

解方程組得： ，

即E（﹣， ），

設(shè)B'（a，b），由中點坐標公式得： =﹣， ，

解得：a=﹣，b=，

∴B'（﹣， ）．