Question

已知⊙O過點D（4，3），點H與點D關(guān)于x軸對稱，過H作⊙O的切線交x軸于點A．
（1）求sin∠HAO的值；
（2）如圖，設(shè)⊙O與x軸正半軸交點為P，點E、F是線段OP上的動點（與點P不重合），連接并延長DE、DF交⊙O于點B、C，直線BC交x軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為點D在圓上，根據(jù)點D的坐標(biāo)利用勾股定理即可求得OD的長，即半徑；連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，根據(jù)同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根據(jù)已知可求得sin∠OHQ的值，則sin∠HAO的值也就求得了；
（2）設(shè)點D關(guān)于x軸的對稱點為H，連接HD交OP于Q，則HD⊥OP，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及垂徑定理可得到∠CGO=∠OHQ，則求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．

解答：解：（1）點D（3，4）在⊙O上，
∴⊙O的半徑r=OD=5；
如圖，連接HD交OA于Q，則HD⊥OA，連接OH，則OH⊥AH，
∴∠HAO=∠OHQ，
∴sin∠HAO=sin∠OHQ=

OQ

OH

=

3

5

；

（2）解：不變．
如圖，設(shè)點D關(guān)于x軸的對稱點為H，連接HD交OP于Q，則HD⊥OP，
又DE=DF，
∴DH平分∠BDC，
∴

BH

=

CH

．
∴連接OH，則OH⊥BC，
在Rt△OKG與Rt△OHQ中，
∵∠OKG=∠OEH=90°，∠HOG=∠HOG，
∴∠CGO=∠OHQ，
∴sin∠CGO=sin∠OHQ=

OQ

OH

=

3

5

，
所以不變．

點評：此題主要考查學(xué)生對切線性質(zhì)，關(guān)于x軸、y軸、原點對稱點的坐標(biāo)，解直角三角形及垂徑定理等知識點的綜合運用．