Question

在□ABCD中，∠A =∠DBC, 過點D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 連接EF、 EC,

N、P分別為EC、BC的中點，連接NP．

   （1）如圖1，若點E在DP上, EF與DC交于點M, 試探究線段NP與線段NM的數(shù)量關(guān)系及∠ABD與∠MNP滿足的等量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論；

（2）如圖2，若點M在線段EF上, 當(dāng)點M在何位置時，你在（1）中得到的結(jié)論仍然成立，寫出你確定的點M的位置，并證明（1）中的結(jié)論.

Answer 1

 解:（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180°  (或其它變式及文字?jǐn)⑹?各1分).  

      （2）點M是線段EF的中點(或其它等價寫法).

       證明：如圖, 分別連接BE、CF.

           ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

           ∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，

           ∴∠ABD=∠BDC.

           ∵ ∠A=∠DBC，

           ∴ ∠DBC=∠DCB.

           ∴ DB=DC.   ①

           ∵∠EDF =∠ABD,

∴∠EDF =∠BDC.

           ∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .

即∠BDE =∠CDF.   ②    

           又 DE=DF，  ③

           由①②③得△BDE≌△CDF.   分 

           ∴ EB=FC, ∠1=∠2.

∵ N、P分別為EC、BC的中點，

           ∴NP∥EB, NP=.

           同理可得 MN∥FC，MN=.

           ∴ NP = NM.            

∵ NP∥EB,

∴∠NPC=∠4.

∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.

∵MN∥FC，

∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.

           ∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4

 =∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.

           ∴  ∠ABD +∠MNP =180°.