【題目】在△ABC中,∠ACB=30°,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A1BC1.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線時,求∠CC1A1的度數(shù);
(2)已知AB=6,BC=8,
①如圖2,連接AA1,CC1,若△CBC1的面積為16,求△ABA1的面積;
②如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn),在△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中,點(diǎn)P的對應(yīng)是點(diǎn)P1,直接寫出線段EP1長度的最大值.
【答案】(1)∠CC1A1=60°;(2)△ABA1的面積=9;(3)線段EP1長度的最大值為11.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:∠A1C1B=∠ACB=30°,BC=BC1,又由等腰三角形的性質(zhì),即可求得∠CC1A1的度數(shù);
(2)①由△ABC≌△A1BC1,易證得△ABA1∽△CBC1,然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可求得△ABA1的面積;
②當(dāng)P在AC上運(yùn)動至點(diǎn)C,△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時,EP1最大,即可求得線段EP1長度的最大值
(1)依題意得:△A1C1B≌△ACB,
∴BC1=BC,∠A1C1B=∠C=30°,
∴∠BC1C=∠C=30°,
∴∠CC1A1=60°;
(2)如圖2所示:
由(1)知:△A1C1B≌△ACB,
∴A1B=AB,BC1=BC,∠A1BC1=∠ABC,
∴∠1=∠2,==,
∴△A1BA∽△C1BC,
∴=()2,
∵△CBC1的面積為16,
∴△ABA1的面積=9.
(3)線段EP1長度的最大值為11,理由如下:
如圖3所示:當(dāng)P在AC上運(yùn)動至點(diǎn)C,△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時,EP1最大,
最大值為:EP1=BC+BE=8+3=11.
即線段EP1長度的最大值為11.
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【題目】如圖,已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上,∠A= ∠D,要使△ABC∽△DEF,還需添加一個條件,則添加的條件可以是_________________.
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【題目】如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量校園主教學(xué)樓AB的高度,由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá),故興趣小組在平地上選擇一點(diǎn)C,用測角器測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30°,再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米,到達(dá)點(diǎn)E處(C,E,B三點(diǎn)在同一直線上),又測得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60°,已知測角器CD的高度為1.6米,請計(jì)算主教學(xué)樓AB的高度.(≈1.73,結(jié)果精確到0.1米)
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【題目】如圖,已知直線y=x與雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則下列結(jié)論:①k=6;②A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱;③關(guān)于x的不等式<0的解集為x<﹣3或0<x<3;④若雙曲線y=(k>0)上有一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6,則△AOC的面積為8,其中正確結(jié)論的個數(shù)( 。
A.4個B.3個C.2個D.1個
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【題目】如圖,可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被它的兩條直徑分成了四個分別標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域,其中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形圓心角為120°.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,待轉(zhuǎn)盤自動停止后,指針指向一個扇形的內(nèi)部,則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字,此時,稱為轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次(若指針指向兩個扇形的交線,則不計(jì)轉(zhuǎn)動的次數(shù),重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,直到指針指向一個扇形的內(nèi)部為止)
(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,求轉(zhuǎn)出的數(shù)字是-2的概率;
(2)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,用樹狀圖或列表法求這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率.
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【題目】一塊直角三角板ABC按如圖放置,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣3,0),∠B=30°,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .
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【題目】如圖已知等邊,頂點(diǎn)在雙曲線上,點(diǎn)的坐標(biāo)為.過作交雙曲線于點(diǎn),過作交x軸于點(diǎn)得到第二個等邊;過作交雙曲線于點(diǎn),過作交x軸于點(diǎn),得到第三個等邊;以此類推,…,則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上,E、F分別在AB、AC上,AD交EF于點(diǎn)H.
(1)求證:;
(2)設(shè)EF=x,當(dāng)x為何值時,矩形EFPQ的面積最大?并求出最大面積;
(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時,該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動(當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點(diǎn)時停止運(yùn)動),設(shè)運(yùn)動時間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
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