Question

【題目】圖形變換中的數(shù)學(xué)，問(wèn)題情境：在課堂上，興趣學(xué)習(xí)小組對(duì)一道數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD．

（1）探索發(fā)現(xiàn)：
如圖①，BC與BD的數(shù)量關(guān)系是；
（2）猜想驗(yàn)證：
如圖②，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想BF，BP，BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）拓展延伸：
若點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D③中補(bǔ)全圖象，并直接寫出BF、BP、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）BC=BD
（2）

解：BF+BP=BD，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC= AB，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴BC=BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中， ，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP+BP=BC，

∴BF+BP=BC，

∵BC=BD，

∴BF+BP=BD

（3）

解：如圖③，

關(guān)系：BF=BD+BP，

理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠CBA=60°，BC= AB，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴BC=BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴∠CDB=60°，DC=DB，

∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，

∴∠CDP=∠BDF，

在△DCP和△DBF中， ，

∴△DCP≌△DBF，

∴CP=BF，

∵CP=BC+BP，

∴BF=BC+BP，

∵BC=BD，

∴BF=BD+BP．

【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC= AB，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BC=BD，
所以答案是：BC=BD；