Question

已知：⊙P是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的外接圓，以過(guò)點(diǎn)A的直徑所在直線為x軸，以BC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，x軸與⊙P交于點(diǎn)D．
（1）求A，B，D三點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求過(guò)A，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（3）⊙P的切線交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸正半軸于點(diǎn)N，切點(diǎn)為點(diǎn)E，且∠NMO=30°，試判斷直線MN是否過(guò)拋物線的頂點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，可得出B，C的坐標(biāo)分別為（0，3），（0，-3）．可在直角三角形ABO中，根據(jù)AB的長(zhǎng)和∠ABO的度數(shù)利用三角函數(shù)求出OA的長(zhǎng)，即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用同樣的方法可求出OD的長(zhǎng)，即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由于拋物線過(guò)A，D兩點(diǎn)，可用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可得出拋物線的解析式．
（3）本題的關(guān)鍵是求出直線MN的解析式，首先要知道直線MN上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)．可連接PE，可在直角三角形PEM中，根據(jù)∠NMO的度數(shù)和半徑的長(zhǎng)求出PM的值，同理可在直角三角形OMN中求出ON的長(zhǎng)，由此可求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法先求出直線MN的解析式，然后將拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線MN中即可判斷出直線MN是否過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．

解答：解：（1）在直角三角形ABO中，AB=6，∠ABO=60°，
因此OB=3，OA=3

3

．
在直角三角形OBD中，∠DBC=∠DAC=30°，OB=3，
因此OD=

3

．
因此A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3

3

，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+

3

）（x-3

3

），
由于拋物線過(guò)B點(diǎn)，
則有：3=a×

3

×（-3

3

），a=-

1

3

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

3

x²+

2

3

3

x+3=-

1

3

（x-

3

）²+4．

（3）連接PE，過(guò)E作EF⊥x軸于F，則PE⊥MN．
在直角△PEM中，∠NMO=30°，PE=2

3

，
∴PM=4

3

∴OM=OP+PM=5

3

，
在直角△OMN中，∠NMO=30°，OM=5

3

∴ON=5
因此M的坐標(biāo)為（5

3

，0），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5）．
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+5．
則有：5

3

k+5=0，k=-

3

即直線MN的解析式為y=-

3

x+5．
易知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，4）
當(dāng)x=

3

時(shí)，直線MN的值為y=-3+5=2，
因此拋物線頂點(diǎn)不在直線MN上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形以及切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．