Question

【題目】（10分）已知E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)E，F分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．

試探究下列問題：

（1）如圖1，若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn)，F不是邊CD的中點(diǎn)，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）

（2）如圖2，若點(diǎn)E，F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時(shí)，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和BF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）成立；（2）成立，理由見試題解析；（3）正方形，證明見試題解析．

【解析】

試題（1）因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形，CE=DF，可證△ADF≌△DCE（SAS），即可得到AF=DE，∠DAF=∠CDE，又因?yàn)?/span>∠ADG+∠EDC=90°，即有AF⊥DE；

（2）∵四邊形ABCD為正方形，CE=DF，可證△ADF≌△DCE（SAS），即可得到AF=DE，∠E=∠F，又因?yàn)?/span>∠ADG+∠EDC=90°，即有AF⊥DE；

（3）設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，因?yàn)辄c(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點(diǎn)，可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后根據(jù)AF=DE，可得四邊形MNPQ是菱形，又因?yàn)?/span>AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形．

試題解析：（1）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（2）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由是：

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（3）四邊形MNPQ是正方形．理由是：

如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，∵點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點(diǎn)，

∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四邊形OHQG是平行四邊形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．