Question

【題目】折紙的思考．

（操作體驗）

用一張矩形紙片折等邊三角形．

第一步，對折矩形紙片ABCD（AB＞BC）（圖①），使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平（圖②）．

第二步，如圖③，再一次折疊紙片，使點C落在EF上的P處，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．

（1）說明△PBC是等邊三角形．

（數(shù)學思考）

（2）如圖④，小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC，他發(fā)現(xiàn)，在矩形ABCD中把△PBC經(jīng)過圖形變化，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形，請描述圖形變化的過程．

（3）已知矩形一邊長為3cm，另一邊長為a cm，對于每一個確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形，請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應的a的取值范圍．

（問題解決）

（4）用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4cm和1cm的直角三角形鐵片，所需正方形鐵片的邊長的最小值為 cm．

Answer 1

【答案】（1）理由見解析；（2）答案見解析；（3）本題答案不唯一，如圖⑥；（4）．

【解析】試題（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和位似的性質(zhì)即可得出答案；

（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進行計算，畫出圖形即可；

（4）證明△AEF∽△DCE，得出，設AE=x，則AD=CD=4x，DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

試題解析：解：（1）由折疊的性質(zhì)得：EF是BC的垂直平分線，BG是PC的垂直平分線，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等邊三角形．

（2）以點B為中心，在矩形ABCD中把△PBC逆時針方向旋轉(zhuǎn)適當?shù)慕嵌�，得�?/span>△P1BC1；

再以點B為位似中心，將△△P1BC1放大，使點C1的對應點C2落在CD上，得到△P2BC2；

如圖⑤所示；

（3）本題答案不唯一，舉例如圖⑥所示；

（4）如圖⑦所示：

△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD，∴∠DCE+∠CED=90°，∴∠AEF=∠DCE，∴△AEF∽△DCE，∴，設AE=x，則AD=CD=4x，∴DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得： ，解得：x=，∴AD=4×=；故答案為：．