Question

已知：如圖（1），在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線CA⊥BA，AB=AC=8cm，四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的，A₁D₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，B₁C₁分別與AB、BC相交于點(diǎn)P、Q．
（1）求四邊形CD₁C₁Q的周長(zhǎng)；（保留無(wú)理數(shù)，下同）
（2）求兩個(gè)平行四邊形重合部分的四邊形APQC的面積S；
（3）如圖（2），將平行四邊形A₁B₁C₁D₁以每秒1cm的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到B₁C₁在直線AC上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（秒），兩個(gè)平行四邊形重合部分的面積為y（cm²）．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并探索是否存在一個(gè)時(shí)刻x，使得y取最大值？若存在，請(qǐng)你求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，故∠BCA=∠D₁=45°，所以CQ∥D₁C₁，四邊形CD₁C₁Q是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知C₁D₁=B₁A₁=AB=8，CD₁=A₁D₁-AC=8-8，故可得出結(jié)論；
（2）在等腰直角△A₁B₁P中，由A₁B₁=8，可求出PA₁，PQ的長(zhǎng)，再由梯形的面積公式即可求出四邊形APQC的面積；
（3）當(dāng)平行四邊形A₁B₁C₁D₁運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C₁在BC上時(shí)，如圖②，則C₁與Q重合，這時(shí)運(yùn)動(dòng)距離為C₁H （如圖①），所以C₁ H=QC₁=CD₁=8-8，這時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 x=8-8，當(dāng)若0≤x≤8-8時(shí)，y=S_{四邊形ABCD}-S_△BPQ-S_△A2C2D，由此可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出y的最大值；當(dāng)8-8≤x≤4時(shí)，由P C₁=PA₁=4，AA₁=A₁A₂=x，C₂C₃=C₂D₁=8-8，所以y=S_{梯形A1PC1D1}-S_△AA1A2-S_△C2C3D1，故可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出y的最大值，比較出兩最值的大小即可．
解答：解：（1）∵由條件可知△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴∠BCA=∠D₁=45°，
∴CQ∥D₁C₁，
∴四邊形CD₁C₁Q是平行四邊形．
∴C₁D₁=B₁A₁=AB=8，CD₁=A₁D₁-AC=8-8．   
∴四邊形CD₁C₁Q的周長(zhǎng)為[（8-8）+8]×2=16（cm）． 

（2）如圖①，
∵在等腰直角△A₁B₁P中，A₁B₁=8，
∴PA₁=4，PQ=BP=8-4． 
∴兩個(gè)平行四邊形重合部分的面積為：
S=S_{四邊形APQC}==（32-16）（cm²）．

（3）∵當(dāng)平行四邊形A₁B₁C₁D₁運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C₁在BC上時(shí)，如圖②，則C₁與Q重合，這時(shí)運(yùn)動(dòng)距離為C₁H （如圖①），
∴C₁ H=QC₁=CD₁=8-8這時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 x=8-8．
①若0≤x≤8-8，如圖③，AA₁=x，AP=4-x，
PQ=BP=AB-AP=8-（4-x）=x+8-4，A₂C₂=8-x．
y=S_{四邊形ABCD}-S_△BPQ-S_△A2C2D=AB×AC-×BP²-×C₂D²
=8×8-×（x+8-4）²-×（8-x）²=-x²+4x+32-16．
∵，0＜＜8-8，
∴當(dāng)x=時(shí)，y_最大1=32-8．
②若8-8≤x≤4，如圖④，
∵P C₁=PA₁=4，AA₁=A₁A₂=x，C₂C₃=C₂D₁=8-8．
∴y=S_{梯形A1PC1D1}-S_△AA1A2-S_△C2C3D1==-x²+64-48．
∵-＜0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴x在8-8≤x≤4范圍內(nèi)，也是y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=8-8時(shí)，y_最大2=128-144．
∵y_最大2=128-144=（32-8）+（96-136）=y_最大1+8（12-17）且8（12-17）＜0，
∴y_最大2＜y_最大1．（得出結(jié)論即可）
∴當(dāng)x=2秒時(shí)，y取最大值，這個(gè)最大值是（32-8）cm²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，此題涉及到平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、梯形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度較大．