Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC．給出下列結論：
①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③點P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．
其中正確結論的個數(shù)是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由于與不一定相等，根據(jù)圓周角定理可知①錯誤；
由于與不一定相等，那么與也不一定相等，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系定理可知②錯誤；
先由垂徑定理得到A為的中點，再由C為的中點，得到=，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，可知③正確；
連接BD，由GD為圓O的切線，根據(jù)弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角得到∠GDP=∠ABD，再由兩角對應相等的兩三角形相似得到三角形APF與三角形ABD相似，根據(jù)相似三角形的對應角相等得出∠APF等于∠ABD，根據(jù)等量代換及對頂角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，可知④正確；
由于與也不一定相等，而由垂徑定理可得出=，則與不一定相等，∠GDA與∠BCE不一定相等，又∠BCE即∠PCQ=∠PQC，所以∠GDA與∠PQC不一定相等，可知⑤錯誤．
解答：解：∵在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，
∴=≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①錯誤；

∵≠，
∴+≠+，
即≠，
∴AD≠BC，故②錯誤；

∵弦CE⊥AB于點F，
∴A為的中點，即=，
又∵C為的中點，
∴=，
∴=，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，
∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；

連接BD，如圖所示：
∵GD為圓O的切線，
∴∠GDP=∠ABD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，
又∵∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，故④正確；

∵CE⊥AB，
∴=，
∵≠，
∴≠，
∴∠GDA≠∠BCE，
又∵∠BCE=∠PQC，
∴∠GDA≠∠PQC，
∴CB與GD不平行，故⑤錯誤．
綜上可知，正確的結論是③④，一共2個．
故選B．
點評：此題是圓的綜合題，其中涉及到切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，平行線的判定，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關鍵．