Question

【題目】如圖，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，直線(xiàn)DF是⊙O的切線(xiàn)，D為切點(diǎn)，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．

（1）求證：DF⊥AC；

（2）求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）tan∠CBG=．

【解析】（1）連接OC，CD，根據(jù)圓周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得：D為AB的中點(diǎn)，所以OD是中位線(xiàn)，由三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得：OD∥AC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）如圖，連接BG，先證明EF∥BG，則∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．

（1）證明：如圖，連接OC，CD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位線(xiàn)

∴OD∥AC，

∵DF為⊙O的切線(xiàn)，

∴OD⊥DF，

∴DF⊥AC；

（2）解：如圖，連接BG，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BGC=90°，

∵∠EFC=90°=∠BGC，

∴EF∥BG，

∴∠CBG=∠E，

Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，

∴CD=4，

S△ABC=，

6×4=5BG，

BG=，

由勾股定理得：CG=，

∴tan∠CBG=tan∠E=.