Question

【題目】閱讀理解：

把兩個(gè)相同的數(shù)連接在一起就得到一個(gè)新數(shù)，我們把它稱(chēng)為“連接數(shù)”，例如：234234，3939…等，都是連接數(shù)，其中，234234稱(chēng)為六位連接數(shù)，3939稱(chēng)為四位連接數(shù)．

（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)六位連接數(shù)　 　，它　 　（填“能”或“不能”）被13整除．

（2）是否任意六位連接數(shù)，都能被13整除，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若一個(gè)四位連接數(shù)記為M，它的各位數(shù)字之和的3倍記為N，M﹣N的結(jié)果能被13整除，這樣的四位連接數(shù)有幾個(gè)？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）能被13整除（3）這樣的四位連接數(shù)有1919，2525，3131，一共3個(gè)

【解析】分析：（1）根據(jù)六位連接數(shù)的定義可知123123為六位連接數(shù)，再將123123進(jìn)行因數(shù)分解，判斷得出它能被13整除；

（2）設(shè)為六位連接數(shù)，將進(jìn)行因數(shù)分解，判斷得出它能被13整除；

（3）設(shè)為四位連接數(shù)，用含x、y的代數(shù)式表示M與N，再計(jì)算M﹣N，然后將表示為77x+7y+，根據(jù)M﹣N的結(jié)果能被13整除以及M與N都是1～9之間的整數(shù)，求得x與y的值，即可求解．

詳解：（1）123123為六位連接數(shù)；

∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；

（2）任意六位連接數(shù)都能被13整除，理由如下：

設(shè)為六位連接數(shù)．∵=×1001=×13×77，∴能被13整除；

（3）設(shè)為四位連接數(shù)，則M=1000x+100y+10x+y=1010x+101y，N=3（x+y+x+y）=6x+6y，∴M﹣N=（1010x+101y）﹣（6x+6y）=1004x+95y，∴==77x+7y+．∵M﹣N的結(jié)果能被13整除，∴是整數(shù)．∵3xspan>+4y取值范圍大于3小于63，所以能被13整除的數(shù)有13，26，39，52，∴x=1，y=9；x=2，y=5；x=3，y=1；x=8，y=7；x=9，y=3；x=5，y=6；x=6，y=2；

滿(mǎn)足條件的四位連接數(shù)的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7個(gè)．