Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)D，AC⊥CD于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)E，連接AD、BD、ED．

（1）求證：BD=ED；

（2）若CE=3，CD=4，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題（1）連接OD、OE，由切線的性質(zhì)可知OD⊥CD，從而可證明AC∥OD，接下來由平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可證明∠EOD=∠DOB；

（2）在△CED中依據(jù)勾股定理可求得ED的長(zhǎng)，從而得到BD的長(zhǎng)，接下來證明△ECD∽△BDA，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得AB的長(zhǎng)．

試題解析：（1）連接OD、OE．

∵CD切⊙O于點(diǎn)D，

∴OD⊥CD．

∵AC⊥CD，

∴OD∥AC．

∴∠EAO=∠DOB，∠AEO=∠EOD．

又∵∠EAO=∠AEO，

∴∠EOD=∠DOB．

∴BD=ED．

（2）∵AC⊥CD，

∴∠ACD=90°

又∵CE=3，CD=4，

∴ED=5．

∵BD=ED，

∴BD=5．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°

∴∠ACD=∠ADB．

∵四邊形ABDE內(nèi)接于⊙O，

∠CED=∠B，

∴△CDE∽△DAB．

∴．

∴．

∴AB=．