如圖，某商標是由邊長均為2的正三角形、正方形、正六邊形的金屬薄片鑲嵌而成的鑲嵌圖案.
（1）求這個鑲嵌圖案中一個正三角形的面積；
（2）如果在這個鑲嵌圖案中隨機確定一個點O，那么點O落在鑲嵌圖案中的正方形區(qū)域的概率為多少？(結(jié)果保留二位小數(shù)）

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E. ⊙O的切線BF與
弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD="  " .
（1）求證：CD∥BF；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求弦CD的長.

（本題滿分9分）如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O₁處，點B運動到了點B₁處；小慧又將三角形紙片AO₁B₁繞點B₁按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點A₁處，點O₁運動到了點O₂處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O₂處）．
小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段
圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧
與直線l₁圍成的圖形面積等于扇形AOO₁的面積、△AO₁B₁的面積和扇形B₁O₁O₂的面積之
和．
小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA
邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到
了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處；小慧又將正方形
紙片AO₁C₁B₁繞頂點B₁按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．她
提出了如下問題：
問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程，并
求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l₂圍成圖形的面積；若正方形紙片OA BC
按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程；
問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是
?
請你解答上述兩個問題．

（本題滿分8分）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．
(1)如圖①，當PA的長度等于 
時，∠PAB＝60°；
當PA的長度等于   時，△PAD是等腰三角形；
(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角
坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S₁、S₂、S₃．坐
標為（a，b），試求2 S₁ S₃－S₂²的最大值，并求出此時a，b的值．

（本題滿分8分）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，

C是弦AB上的任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交
于⊙O于點D，連接AD．
(1)弦長AB等于 ▲ （結(jié)果保留根號）；
(2)當∠D＝20°時，求∠BOD的度數(shù)；
(3)當AC的長度為多少時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、
C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．

（2011•江漢區(qū)）如圖，BD是⊙O的直徑，A、C是⊙O上的兩點，且AB=AC，AD與BC的延長線交于點E．
（1）求證：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的長．

（2011•德州）●觀察計算
當a=5，b=3時，與的大小關(guān)系是＞．
當a=4，b=4時，與的大小關(guān)系是=．
●探究證明
如圖所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設AD=a，BD=b．
（1）分別用a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）．
●歸納結(jié)論
根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：．
●實踐應用
要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C兩點除外）.
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求△ABC面積的最大值.
（參考數(shù)據(jù)： ，，.）

有一種用來畫圓的工具板（如圖所示），工具板長21cm，上面依次排列著大小不等的五個圓（孔），其中最大圓的直徑為3cm，其余圓的直徑從左到右依次遞減0.2cm. 最大圓的左側(cè)距工具板左側(cè)邊緣1.5cm，最小圓的右側(cè)距工具板右側(cè)邊緣1.5cm，相鄰兩圓的間距d均相等.
（1）直接寫出其余四個圓的直徑長；
（2）求相鄰兩圓的間距.

（2011•濱州）如圖，直線PM切⊙O于點M，直線PO交⊙O于A、B兩點，弦AC∥PM，連接OM、BC．
求證：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA²=OP•BC．