科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》�？碱}集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，進(jìn)行了如下的課題研究：用一定長(zhǎng)度的鋁合金材料，將它設(shè)計(jì)成外觀為長(zhǎng)方形的三種框架，使長(zhǎng)方形框架面積最大．
小組討論后，同學(xué)們做了以下三種試驗(yàn)：

請(qǐng)根據(jù)以上圖案回答下列問(wèn)題：
（1）在圖案1中，如果鋁合金材料總長(zhǎng)度（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和）為6m，當(dāng)AB為1m，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積是______m²；
（2）在圖案2中，如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為6m，設(shè)AB為xm，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積為S=______（用含x的代數(shù)式表示）；當(dāng)AB=______m時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大；在圖案3中，如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為lm，設(shè)AB為xm，當(dāng)AB=______m時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大．
（3）經(jīng)過(guò)這三種情形的試驗(yàn)，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于圖案4這樣的情形也存在著一定的規(guī)律．探索：如圖案4如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為lm共有n條豎檔時(shí)，那么當(dāng)豎檔AB多少時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積最大．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》�？碱}集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)M、N．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，△DEF終止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在AB上，設(shè)△DEF平移的時(shí)間為x．
（1）求△DEF的邊長(zhǎng)；
（2）求M點(diǎn)、N點(diǎn)在BA上的移動(dòng)速度；
（3）在△DEF開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，如果點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度從D點(diǎn)出發(fā)沿DE?EF運(yùn)動(dòng)，最終運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)．若設(shè)△PMN的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出它的定義域；并說(shuō)明當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PMN的面積最大？

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》�？碱}集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖1，以矩形OABC的兩邊OA和OC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．將矩形OABC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使B點(diǎn)落在y軸的正半軸上，旋轉(zhuǎn)后的矩形為OA₁B₁C₁，BC，A₁B₁相交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)B₁的坐標(biāo)與線段B₁C的長(zhǎng)；
（2）將圖1中的矩形OA₁B₁C₁沿y軸向上平移，如圖2，矩形PA₂B₂C₂是平移過(guò)程中的某一位置，BC，A₂B₂相交于點(diǎn)M₁，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為x，矩形PA₂B₂C₂與原矩形OABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，平移后的矩形為PA₃B₃C₃．請(qǐng)你思考如何通過(guò)圖形變換使矩形PA₃B₃C₃與原矩形OABC重合，請(qǐng)簡(jiǎn)述你的做法．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》常考題集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

二次函數(shù)y=x²的圖象如圖所示，過(guò)y軸上一點(diǎn)M（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
（1）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在（1）的情況下，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，在EF上是否存在點(diǎn)P，使∠APB為直角？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)A與點(diǎn)O不重合），求AC•BD的值．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》常考題集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)．P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是△PDQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形；
（3）是否存在時(shí)刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）通過(guò)觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PD⊥AB？若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》常考題集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

已知拋物線y₁=x²-2x+c的部分圖象如圖1所示．
（1）求c的取值范圍；
（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1），試確定拋物線y₁=x²-2x+c的解析式；
（3）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（2）中拋物線上點(diǎn)（1，a），試在圖2所示直角坐標(biāo)系中，畫出該反比例函數(shù)及（2）中拋物線的圖象，并利用圖象比較y₁與y₂的大小．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》�？碱}集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，且12a+5c=0．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．
①移動(dòng)開始后第t秒時(shí)，設(shè)S=PQ²（cm²），試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
②當(dāng)S取得最小值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》�？碱}集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)．以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）試求△NPC面積S的表達(dá)式，并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△NPC是一個(gè)等腰三角形？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》常考題集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），頂點(diǎn)C，D在第一象限．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)E（4，0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），求P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；
（3）求（2）中面積S（平方單位）與時(shí)間t（s）的函數(shù)解析式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)P，Q保持（2）中的速度不變，則點(diǎn)P沿著AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減�。�當(dāng)點(diǎn)P沿著這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使∠OPQ=90°嗎？若能，直接寫出這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不能，直接寫不能．

科目： 來(lái)源：第6章《二次函數(shù)》�？碱}集（25）：6.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，-2）、N（-1，6）．
（1）求二次函數(shù)y=x²+bx+c的關(guān)系式；
（2）把Rt△ABC放在坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0），（4，0），BC=5．將△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求△ABC平移的距離．