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【題目】下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖,⊙O及⊙O上一點(diǎn)P.
求作:過點(diǎn)P的⊙O的切線.
作法:如圖,
①作射線OP;
②在直線OP外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作⊙A,與射線OP交于另一點(diǎn)B;
③連接并延長BA與⊙A交于點(diǎn)C;
④作直線PC;
則直線PC即為所求.
根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:∵ BC是⊙A的直徑,
∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依據(jù)).
∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半徑,
∴PC是⊙O的切線(____________)(填推理的依據(jù)).
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【題目】已知關(guān)于x的方程 (m-1)x-mx+1=0。
(1)證明:不論m為何值時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若m為整數(shù),當(dāng)m為何值時(shí),方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根。
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【題目】某校為了解七、八年級(jí)學(xué)生英語聽力訓(xùn)練情況(七、八年級(jí)學(xué)生人數(shù)相同),某周從這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生中分別隨機(jī)抽查了30名同學(xué),調(diào)查了他們周一至周五的聽力訓(xùn)練情況,根據(jù)調(diào)查情況得到如下統(tǒng)計(jì)圖表:
(1)填空:a= ;
(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖表完成下表中的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量:
年級(jí) | 平均訓(xùn)練時(shí)間的中位數(shù) | 參加英語聽力訓(xùn)練人數(shù)的方差 |
七年級(jí) | 24 | 34 |
八年級(jí) |
| 14.4 |
(3)請(qǐng)你利用上述統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)七、八年級(jí)英語聽力訓(xùn)練情況寫出兩條合理的評(píng)價(jià);
(4)請(qǐng)你結(jié)合周一至周五英語聽力訓(xùn)練人數(shù)統(tǒng)計(jì)表,估計(jì)該校七、八年級(jí)共480名學(xué)生中周一至周五平均每天有多少人進(jìn)行英語聽力訓(xùn)練.
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【題目】圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2,它的雙翼展開時(shí),雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=54cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA=∠BDQ=30°.當(dāng)雙翼收起時(shí),可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為( )
A. (54+10) cm B. (54+10) cm C. 64 cm D. 54cm
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【題目】在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AB、AD邊上一點(diǎn),∠DFC=2∠FCE.
(1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形,∠DFC=60°,BE=4,則AF= .
(2)如圖2,若四邊形ABCD是菱形,∠A=120°,∠DFC=90°,BE=4,求的值.
(3)如圖3,若四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),CE=12,CF=13,求的值.
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【題目】劉徽,公元3世紀(jì)人,是中國歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一.《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn).《海島算經(jīng)》第一個(gè)問題的大意是:如圖,要測量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE,兩桿之間的距離BD=1000步,點(diǎn)D、B、H成一線,從B處退行123步到點(diǎn)F處,人的眼睛貼著地面觀察點(diǎn)A,點(diǎn)A、C、F也成一線,從DE退行127步到點(diǎn)G處,從G觀察A點(diǎn),A,E,G三點(diǎn)也成一線,試計(jì)算山峰的高度AH及BH的長(這里古制1步=6尺,1里=180丈=1800尺=300步,結(jié)果用步來表示).
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【題目】如圖,在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn))
(1)將△ABC向左平移1個(gè)單位,再向上平移5個(gè)單位件到△A1B1C1請(qǐng)畫出△A1B1C1
(2)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中將△ABC以A為位似中心放大3倍,得△AB2C2,請(qǐng)畫出△AB2C2
(3)△A1B1C1和△AB2C2的面積比為 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x+4與y=kx+4分別交x軸于點(diǎn)A、B,兩直線交于y軸上同一點(diǎn)C,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣,0),點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),連接OE交CD于點(diǎn)F.
(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(2)若∠OCB=∠ACD,求k的值;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)F作x軸的垂線1,點(diǎn)M是直線BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是x軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn),使得以B,P,M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】在△ABC中,∠ABC=90°,
(1)如圖1,分別過A,C兩點(diǎn)作經(jīng)過點(diǎn)B的直線的垂線,垂足分別為M、N,求證:△ABM~△BCN;
(2)如圖2,P是邊BC上一點(diǎn),∠BAP=∠C,PM⊥PA交AC于點(diǎn)M,=,求的值;
(3)如圖3,D是邊CA延長線上一點(diǎn),AE=AB,∠DEB=90°,AD:BC:AC=2:3:5,求的長.
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【題目】如圖,一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行,途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào),某臺(tái)風(fēng)中心正以20km/h的速度由南向北移動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心200km的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺(tái)風(fēng)影響區(qū).當(dāng)這艘輪船接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí),它與臺(tái)風(fēng)中心的距離BC=500km,此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心與輪船既定航線的最近距離BA=300km.
(1)如果這艘輪船不改變航向,經(jīng)過9小時(shí),輪船與臺(tái)風(fēng)中心相距多遠(yuǎn)?它此時(shí)是否受到臺(tái)風(fēng)影響?
(2)如果這艘輪船會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響,那么從接到警報(bào)開始,經(jīng)過多長時(shí)間它就會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)?
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