如圖所示，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結(jié)BE₁，交CD₁于D₂；過D₂ 作D₂E₂⊥AC于E₂，連結(jié)BE₂，交CD，于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁， △BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S_n=____ S_△ABC（用含n的代數(shù)式表示）。

觀察下列計算：

……從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：
=（    ）。

觀察下列各式：=2，，......，請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n（n≥1）的等式表示出來（    ）。

觀察下面幾組數(shù)，它們具有共同的特點：1，3，5，7，9，11，13，15，……；2，5，8，11，14，17，20，23，……；7，13，19，25，31，37，43，49，……；現(xiàn)在有上述特點的一組數(shù)，第一個數(shù)是3，第三個數(shù)是11，則其第n個數(shù)為

如圖所示，將邊長為（n=1，2，3，…）的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應的正方形的中心依次為A₁，A₂，A₃，…，①若擺放前6個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）長度之和為（    ）；②若擺放前n（n為大于1的正整數(shù)）個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）長度之和為（    ）。

對于點O、M，點M沿MO的方向運動到O左轉(zhuǎn)彎繼續(xù)運動到N，使OM =ON，且OM⊥ON，這一過程稱為M點關(guān)于O點完成一 次“左轉(zhuǎn)彎運動”，正方形ABCD和點P，P點關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運動到P₁，P₁關(guān)于B左轉(zhuǎn)彎運動到P₂，P₂關(guān)于C左轉(zhuǎn)彎運動到P₃，P₃關(guān)于D左轉(zhuǎn)彎運動到P₄，P₄關(guān)于A左轉(zhuǎn)彎運動到P₅……
（1）請你在圖中用直尺和圓規(guī)確定點P₁的位置；
（2）以D為原點、直線AD為y軸建立直角坐標系，并且已知點B 在第二象限，A、P兩點的坐標分別為（O，4）、（1，1），請你推斷： P₂₀₀₈、P₂₀₀₉、P₂₀₁₀三點的坐標。

閱讀下列材料：
小貝遇到一個有趣的問題：在矩形ABCD 中，AD=8cm，AB=6cm，現(xiàn)有一動點P按下列方式在矩形內(nèi)運動：它從A點出發(fā)，沿著與AB 邊夾角為45°的方向做直線運動，每次碰到矩形的一邊，就會改變運動方向，沿著與這條邊夾角為45 °的方向做直線運動，并且它一直按照這種方式不停地運動，即當P點碰到BC邊時，沿著與BC邊夾角為45 °的方向做直線運動，當P點碰到CD邊時，再沿著與CD邊夾角為45°的方向做直線運動……如圖（1）所示問P點第一次與D點重合前與邊相碰幾次．P點第一次與D點重合時所經(jīng)過的路徑的總長是多少。

一組按規(guī)律排列的整數(shù)5，7，11，19，…，第6個整數(shù)為（    ），根據(jù)上述規(guī)律，第n個整數(shù)為（    ）（n為正整數(shù)）。

我們知道，投擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是；投擲兩枚均勻的硬幣，同時出現(xiàn)兩個正面朝上的概率是；投擲三枚均勻的硬幣，同時出現(xiàn)三個正面朝上的概率是，那么投擲n枚均勻硬幣，同時出現(xiàn)n個正面朝上的概率是（    ）。

如圖，將邊長為（n=1，2，3，…）的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應的正方形的中心依次為A₁，A₂，A₃，…。
①若擺放前6個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為（    ）；
②若擺放前n（n為大于1的正整數(shù)）個正方形紙片，則圖中被遮蓋的線段（虛線部分）之和為（    ）。