二、函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性

【例2】 (1)已知f(x)的定義域為［1，2)，求函數(shù)f(x²)的定義域;

(2)已知f(x+1)的定義域為［0，1］，求函數(shù)f(x)的定義域.

解:(1)由f(x)的定義域為［1，2)，

可知f(x²)中自變量x²也應(yīng)在［1，2)中，

故1≤x²<2,∴-<x≤-1或1≤x<，

即f(x²)的定義域為(-，-1］∪［1, ).

(2)已知f(x)的定義域為［0，1］，即0≤x≤1，

則1≤x+1≤2,∴f(x)的定義域為［1，2］.

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,則

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)當a≥1時,∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當0<a<1時，在區(qū)間［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,滿足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1時，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂這個結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學嚴謹性的體現(xiàn).