Question

18．曉明同學所在的學習小組完成對我國1元硬幣（如圖所示）各參數(shù)的正確估測后，想知道它是由什么金屬制成的，從而需要測量出它的密度．
曉明同學設(shè)計的方案是：用刻度尺測出一枚嶄新的1元硬幣的厚度；再用刻度尺測出它的半徑；從而算出硬幣的體積，然后將它放在天平上測出其質(zhì)量，最后由密度公式算出硬幣的密度．
請你解答下列問題：
（一）如果曉明測量出一枚硬幣的厚度為d、半徑為r、質(zhì)量為m，則曉明同學測得硬幣的密度ρ=$\frac{m}{π{r}^{2}d}$．
（二）但小組同學認為曉明的方法有考慮不周之處，造成了誤差，必須采用另一種“截然不同的方法”才能避免這種誤差，使得測量結(jié)果誤差更小，更精確．
（1）你認為曉明的方案，誤差產(chǎn)生的原因是什么？請你寫出其中的一條．
（2）若沒有刻度尺，物理老師提供了以下測量儀器：50cm³、100cm³、250cm³量筒各一個（參數(shù)如表）；量程為5N，分度值為0.2N的彈簧測力計一個；最小砝碼為1g，標尺的最小刻度為20mg的托盤天平一臺（含砝碼）

量筒序號	容量/mL	分度值/mL	外徑（直徑）/mm
1	50	1	25
2	100	1	32
3	250	5	41

請你從中選用一個測量儀器，嶄新的1元硬幣一枚，自己可補充其他器材（非測量用），來設(shè)計一個測量這枚1元硬幣密度的最佳實驗方案，使測量結(jié)果盡量精確，要求：
①寫出選用的所有器材；
②寫出主要實驗步驟及所需測量的物理量；
③寫出硬幣密度的數(shù)學表達式（用已知量和測量量表示）

Answer 1

分析 （一）先由硬幣的厚度為d、半徑為r算出體積，又知質(zhì)量m，根據(jù)密度公式即可求出硬幣密度的表達式；
（二）（1）硬幣表面凸凹不平，上面可能沾有污垢，都會影響實驗精度；
（2）①根據(jù)實驗?zāi)康暮蛯嶒灧椒ǚ治觯瑴y量硬幣的密度，根據(jù)密度公式ρ=$\frac{m}{V}$，需要測量硬幣的質(zhì)量和體積，質(zhì)量可用天平測量，硬幣的體積用排水法，根據(jù)質(zhì)量和體積的估值要選擇使測量結(jié)果比較精確的器材．
②測量固體密度的基本方法，用天平測出固體的質(zhì)量m，根據(jù)排水法用量筒測出固體的體積V，用公式ρ=$\frac{m}{V}$計算出固體的密度．
③根據(jù)密度公式ρ=$\frac{m}{V}$，通過實驗測得的質(zhì)量，以及用排水法測量的硬幣的體積，就能求出硬幣的密度公式．

解答 解：
（一）一枚硬幣的厚度為d、半徑為r，則一枚硬幣的體積：V=Sd=πr²d，
已知硬幣的質(zhì)量為m，
根據(jù)密度公式ρ=$\frac{m}{V}$可得，硬幣的密度：ρ=$\frac{m}{π{r}^{2}d}$；
（二）（1）硬幣表面凸凹不平，測量出其厚度，計算出來的硬幣的體積不準確；硬幣上可能沾有污垢導致測量的質(zhì)量和體積不準確，都會影響到實驗的精度（或用刻度尺測硬幣的半徑時誤差較大）；
（2）①根據(jù)題意，測量固體密度的實驗，需要測量質(zhì)量和體積的工具；由于硬幣的質(zhì)量不足10g，用量程為5N，最小刻度值為0.2N的彈簧測力計測量，測量的誤差太大，只能用標尺的最小刻度為20mg的托盤天平，1枚嶄新的1元硬幣，硬幣的體積用排水法求得，實驗中還需要放取硬幣用的細線，小燒杯和水．
②實驗步驟及所測得物理量有：
Ⅰ用調(diào)好的天平測量出1枚嶄新硬幣的質(zhì)量m₁；
Ⅱ在小燒杯裝入適量水，用調(diào)好的天平測量出燒杯和水的質(zhì)量m₂；
Ⅲ再用細線系住硬幣，手提細線將硬幣緩慢浸入燒杯的水中直至完全浸沒，并不接觸燒杯壁和底，在天平的右盤增加砝碼或只移動游碼使天平平衡，稱出其質(zhì)量為m₃．
③根據(jù)實驗步驟、所測物理量可知，硬幣排開水的質(zhì)量為：
m_排水=m₃-m₂，
硬幣完全浸沒在水中，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$可得硬幣的體積：
V=V_排水=$\frac{{m}_{3}-{m}_{2}}{{ρ}_{水}}$，
則硬幣密度的數(shù)學表達式：
ρ=$\frac{{m}_{1}}{\frac{{m}_{3}-{m}_{2}}{{ρ}_{水}}}$=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{3}-{m}_{2}}$•ρ_水．
故答案為：（一）$\frac{m}{π{r}^{2}d}$；
（二）（1）硬幣表面凸凹不平，測量出其厚度，計算出來的硬幣的體積不準確（合理即可）；
（2）①選用的所有器材有：1枚嶄新的1元硬幣、小燒杯、天平和砝碼、細線、水；
②主要實驗步驟及所需測量的物理量：
Ⅰ用調(diào)好的天平測量出1枚嶄新硬幣的質(zhì)量m₁；
Ⅱ在小燒杯裝入適量水，用調(diào)好的天平測量出燒杯和水的質(zhì)量m₂；
Ⅲ再用細線系住硬幣，手提細線將硬幣緩慢浸入燒杯的水中直至完全浸沒，并不接觸燒杯壁和底，在天平的右盤增加砝碼或只移動游碼使天平平衡，稱出其質(zhì)量為m₃．
③硬幣密度的表達式為ρ=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{3}-{m}_{2}}$•ρ_水．

點評 本題是一道實驗設(shè)計題，因為本題的實驗方法比較多，開放性強，所以本題能很好的開發(fā)學生的思維，是一道路好題，同時對培養(yǎng)人才學生的誤差分析能力也很有幫助．