Question

19．經濟建設中永達大量機械設備，某種起重機結構如圖所示，A處時動滑輪，B、O處時定滑輪，D是柱塞（起重時柱塞沿豎直DC方向對吊臂C點有支撐力），E是卷揚機．作用在動滑輪A上共有3股鋼絲繩，卷揚機轉動使鋼絲繩帶動你動滑輪A提升重物，起重機的吊臂OCB可以看做杠桿，且OB：OC=5：1，用該起重機將浸沒在水中的長方體集裝箱勻速提出（忽略水的阻力），放在水平地面上，集裝箱質量為4×10⁴kg、底面積為10m²、高為2m．（g取10N/kg，ρ_水=1.0×10³kg/m³）求：
（1）浸沒在水中的集裝箱受到的浮力；
（2）當集裝箱放在水平地面上，起重機未對集裝箱施力時，集裝箱對地面的壓強；
（3）若集裝箱在水中被提升2m（沒露出水面），集裝箱受到的拉力所做的功；
（4）當集裝箱被提起且仍浸沒在水中時，若起重機立柱DC對吊臂C點豎直向上的作用力為2×10⁶N，起重機的滑輪組的機械效率．（吊臂、定滑輪、鋼絲繩的重力以及輪與繩的摩擦不計）

Answer 1

分析 （1）已知集裝箱底面積為10m²、高為2m．可求得其體積，浸沒在水中，V_排=V_物，根據F_浮=ρgV_排可求得集裝箱受到的浮力；
（2）集裝箱靜放在水平地面時對地面的壓力等于重力，又知受力面積，利用p=$\frac{F}{S}$計算壓強．
（3）根據F_拉=G-F_浮可求得拉力，再利用W=F_拉s可求得集裝箱受到的拉力所做的功．
（4）根據杠桿的平衡條件求出B處所受的力，鋼絲繩的重以及輪與繩的摩擦不計時向上拉力做的功為總功、克服物體重力和所受浮力之差做的功為有用功，然后利用效率公式求出滑輪組的機械效率．

解答 解：
（1）集裝箱浸沒在水中時，排開水的體積V_排=V_物=Sh=10m²×2m=20m³，
浸沒在水中的集裝箱受到的浮力：F_浮=ρgV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×20m³=2×10⁵N；
（2）集裝箱靜放在水平地面時，對地面的壓力：F=G=mg=4×10⁴kg×10N/kg=4×10⁵N，
集裝箱對地面壓強：p=$\frac{F}{S}$=$\frac{4×1{0}^{5}N}{10{m}^{2}}$=4×10⁴Pa；
（3）集裝箱浸沒在水中時，集裝箱受到的拉力：F_拉=G-F_浮=4×10⁵N-2×10⁵N=2×10⁵N；
集裝箱受到的拉力所做的功：W=F_拉s=2×10⁵N×2m=4×10⁵J；
（4）如圖所示，做出動力臂L₁和阻力臂L₂，

因為△COG∽△BOF，且OB：OC=5：1．
所以由相似三角形的性質可得$\frac{OF}{OG}$=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{5}{1}$，即$\frac{{L}_{2}}{{L}_{1}}$=$\frac{5}{1}$，
由杠桿平衡條件可得，起重機吊臂B處受到的作用力：
F₂=$\frac{{F}_{1}{L}_{1}}{{L}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}{L}_{1}}{5{L}_{1}}$=$\frac{1}{5}$F₁=$\frac{1}{5}$×2×10⁶N=4×10⁵N；
由圖可知n=3，則繩子自由端的拉力F=$\frac{1}{3}$F₂，
集裝箱沒有露出水面被勻速提升的過沉中，起重機的滑輪組的機械效率
η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{F}_{拉}h}{Fs}$=$\frac{{F}_{拉}h}{\frac{1}{3}{F}_{2}×3h}$=$\frac{{F}_{拉}}{{F}_{2}}$=$\frac{2×1{0}^{5}N}{4×1{0}^{5}N}$×100%=50%．
答：（1）浸沒在水中的集裝箱受到的浮力為2×10⁵N；
（2）當集裝箱放在水平地面上，起重機未對集裝箱施力時，集裝箱對地面的壓強為4×10⁴Pa；
（3）若集裝箱在水中被提升2m（沒露出水面），集裝箱受到的拉力所做的功為4×10⁵J；
（4）起重機的滑輪組的機械效率為50%．

點評 此題考查重力、壓強、功和功率的計算，涉及到二力平衡的條件的應用，是一道綜合性較強的題目，關鍵是知道集裝箱靜放在水平地面時對地面的壓力等于重力．