Question

對一根用新材料制成的金屬桿M進(jìn)行抗拉測量．這根金屬桿長4m，橫截面積為0.8cm²，設(shè)計要求使它受到拉力后的伸長量不超過原長的1/1000．由于這一拉力很大，桿又很長．直接測試有困難，現(xiàn)選用這種材料制成樣品進(jìn)行測試，得到不同情況下的伸長量如下表所示．

（1）測試結(jié)果表明，樣品受拉力作用后，其伸長量與樣品長度的關(guān)系是怎樣的？與樣品的橫截面積的關(guān)系是怎樣的？
（2）完成表格中的數(shù)據(jù)，計算待測金屬桿M能夠承受的最大拉力是多大？
（3）數(shù)據(jù)表明，金屬桿能承受的最大拉力與什么因素有關(guān)？

Answer 1

分析：此題涉及到多個變量：樣品的長度L，橫截面積S，受到的拉力F，伸長量x；
根據(jù)圖表可以初步判斷：伸長量x與樣品的長度、橫截面積、所受拉力都有關(guān)系，因此先根據(jù)控制變量法（保持其他量一定，來比較被研究對象的比例關(guān)系）確定它們之間的正、反比關(guān)系，然后將各種情況進(jìn)行匯總，再運用比值定義法初步確定這幾個量之間的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)所得公式來判斷樣品能承受的最大拉力，以及與什么因素有關(guān)．

解答：解：設(shè)樣品的長度為L（m），橫截面積為S（cm²），受到的拉力為F（N），伸長量為x（cm）；
（1）由表格知：
1、當(dāng)受到的拉力F、橫截面積S一定時，伸長量x與樣品長度L成正比；…①
2、當(dāng)受到的拉力F、樣品長度L一定時，伸長量x與橫截面積S成反比；…②
3、當(dāng)樣品長度L、橫截面積S一定時，伸長量x與受到的拉力F成正比；…③
由1、2的結(jié)論，可知答案為：正、反．
（2）由①②③三個結(jié)論，可以歸納出，x與L、S、F之間存在一定量的比例關(guān)系，設(shè)這個比值為k，那么有：
x=k?

FL

S

（k為比例系數(shù)）；
任取一組數(shù)據(jù)，當(dāng)L=1m，F(xiàn)=300N，S=0.05cm²=5×10^-6m²，x=0.04cm=4×10^-4m；代入上式，得：
4×10^-4m=k?

300N×1m

5×10-6m2

，解得：k=

20

3

×10^-12m²/N；
由題意知：待測金屬桿M承受最大拉力時，其伸長量為原來的1/1000，即4×10^-3m；
此時 S=0.8cm²=8×10^-5m²，L=4m；代入上面的公式x=k?

FL

S

中，得：
4×10^-3m=

20

3

×10^-12m²/N×

F×4m

8×10-5m2

，解得：F=12000N．
即：待測金屬桿M能夠承受的最大壓力為12000N．
（3）在（2）題中，得出了伸長量x與所受拉力F、橫截面積S、樣品長度L的關(guān)系式：x=k?

FL

S

；
變形后可得：F=

xS

kL

；由于設(shè)計要求的規(guī)定：受到拉力后的伸長量不超過原長的1/1000，因此

x

L

的值一定；
那么在式子中，

x

kL

一定時，金屬桿所受的最大拉力F與橫截面積S有關(guān)系，且關(guān)系為：
樣品受到的最大拉力與橫截面積成正比．

點評：本題的難度很大，題中共涉及4個變量，在解題過程中，綜合應(yīng)用了控制變量法、歸納法、比值定義法來進(jìn)行分析、解答，對同學(xué)的綜合素質(zhì)要求很高．